Question

20．已知$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$為單位向量，$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=0，若|$\overrightarrow{c}$|=2，則（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$+$\overrightarrow{c}$）•（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{c}$）的最大值是5+2$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 由向量的平方即為模的平方，計(jì)算可得|2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=$\sqrt{（2\overrightarrow{a}+\overrightarrow）^{2}}$=$\sqrt{5}$，再由向量的數(shù)量積的定義，結(jié)合余弦函數(shù)的值域即可得到所求最大值．

解答 解：$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$為單位向量，$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=0，
|2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=$\sqrt{（2\overrightarrow{a}+\overrightarrow）^{2}}$=$\sqrt{4{\overrightarrow{a}}^{2}+4\overrightarrow{a}•\overrightarrow+{\overrightarrow}^{2}}$=$\sqrt{4+0+1}$=$\sqrt{5}$，
若|$\overrightarrow{c}$|=2，
則（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$+$\overrightarrow{c}$）•（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{c}$）=$\overrightarrow{a}$²+（2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）•$\overrightarrow{c}$+$\overrightarrow{c}$²=1+2$\sqrt{5}$cos＜2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$＞+4
=5+2$\sqrt{5}$cos＜2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$＞，
當(dāng)cos＜2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$＞=1時(shí)，（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$+$\overrightarrow{c}$）•（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{c}$）取得最大值5+2$\sqrt{5}$．
故答案為：5+2$\sqrt{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查向量的數(shù)量積的定義和性質(zhì)，考查向量的平方即為模的平方，以及余弦函數(shù)的值域的運(yùn)用，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．