Question

已知f（x）=x²-（a+1）x+a
（1）解不等式f（x）＞0；
（2）若f（x）＞0對x∈[2，+∞）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題,一元二次不等式的解法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）直接分a=1，a＞1，a＜1求解不等式的解集；
（2）由不等式f（x）＞0對x∈[2，+∞）恒成立得到x²-（a+1）x+a＞0對x∈[2，+∞）恒成立，
由此得到（a+1）²-4a≤0或

a+1 2 ≤2 f(2)=4-2(a+1)+a＞0

，求解即可得到滿足條件的a的范圍．

解答： 解：（1）由f（x）＞0，得x²-（a+1）x+a＞0，
即（x-1）（x-a）＞0，
當(dāng)a=1時(shí)，不等式的解集為∅；
當(dāng)a＞1時(shí)，不等式的解集為（-∞，1）∪（a，+∞）；
當(dāng)a＜1時(shí)，不等式的解集為（-∞，a）∪（1，+∞）．
（2）由f（x）＞0對x∈[2，+∞）恒成立，
即x²-（a+1）x+a＞0對x∈[2，+∞）恒成立，
則（a+1）²-4a≤0或

a+1 2 ≤2 f(2)=4-2(a+1)+a＞0

．
解得：a=1或a＜2．
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，2）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元二次不等式的解法，考查了利用“三個(gè)二次”結(jié)合求解參數(shù)的取值范圍問題，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．