Question

7．已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的離心率為$\frac{1}{2}$，且過$（1，\frac{3}{2}）$，它的左右頂點分別是A，B，點 P是橢圓上異于頂點的任意一點，直線AP，BP分別交y=$\frac{1}{2}$x和y=-$\frac{1}{2}$x于M，N兩點．
（1）求此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）求$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$的范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意知：焦點在x軸上，且$e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，由c²=a²-b²，求得a與b的關(guān)系，將點$（1，\frac{3}{2}）$代入橢圓方程，即可求得a和b的值，即可求得橢圓方程；
（2）設(shè)P（x₀，y₀），求得A和B點坐標(biāo)，設(shè)直線AP的方程為$y=\frac{y_0}{{{x_0}+2}}（x+2）$，分別將直線y=$\frac{1}{2}$x和y=-$\frac{1}{2}$x代入，求得M和N點坐標(biāo)，根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示求得$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$的表達(dá)式，由P點在橢圓上求得y₀的取值范圍，代入即可求得$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$的范圍．

解答 解：（1）由題意知：$e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，又c²=a²-b²，可得a²：b²=4：3，
又因為橢圓過點$（1，\frac{3}{2}）$，代入橢圓方程得：$\frac{1^2}{a^2}+\frac{{{{（{\frac{3}{2}}）}^2}}}{b^2}=1$，
代入可求得$\left\{{\begin{array}{l}{{a^2}=4}\\{{b^2}=3}\end{array}}\right.$…（2分）．
所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$…（4分）．
（2）設(shè)P（x₀，y₀），根據(jù)橢圓的對稱性，不妨設(shè)y₀＞0，
根據(jù)橢圓方程，易知A（-2，0），B（2，0），…（5分）
AP的直線方程為：$y=\frac{y_0}{{{x_0}+2}}（x+2）$
聯(lián)立方程組$\left\{{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x}\\{y=\frac{y_0}{{{x_0}+2}}（{x+2}）}\end{array}}\right.$，
∴M：（$\frac{4{y}_{0}}{{x}_{0}+2-2{y}_{0}}$，$\frac{2{y}_{0}}{{x}_{0}+2-2{y}_{0}}$）…（7分），
同理$N：（\frac{{4{y_0}}}{{2{y_0}+{x_0}-2}}，-\frac{{2{y_0}}}{{2{y_0}+{x_0}-2}}）$…（8分）
$⇒\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}=（\frac{{4{y_0}}}{{{x_0}+2-2{y_0}}}，\frac{{2{y_0}}}{{{x_0}+2-2{y_0}}}）（\frac{{4{y_0}}}{{2{y_0}+{x_0}-2}}，-\frac{{2{y_0}}}{{2{y_0}+{x_0}-2}}）$，
=$\frac{16{y}_{0}^{2}}{{x}_{0}^{2}-（2-2{y}_{0}）^{2}}$-$\frac{4{y}_{0}^{2}}{{x}_{0}^{2}-（2-2{y}_{0}）^{2}}$=$\frac{12{y}_{0}^{2}}{{x}_{0}^{2}-（2-2{y}_{0}）^{2}}$…（10分）
P在橢圓上，
∴$\frac{{x}_{0}^{2}}{4}+\frac{{y}_{0}^{2}}{3}=1$⇒${x}_{0}^{2}$=4（1-$\frac{{y}_{0}^{2}}{3}$），（0＜y₀≤$\sqrt{3}$），
∴$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$=$\frac{12{y}_{0}^{2}}{4（1-\frac{{y}_{0}^{2}}{3}）-（2-2{y}_{0}）^{2}}$=$\frac{3}{-\frac{4}{3}+\frac{2}{{y}_{0}}}$∈（-∞，$\frac{9\sqrt{3}+18}{2}$]∪（0，+∞），
∴$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$的范圍（-∞，$\frac{9\sqrt{3}+18}{2}$]∪（0，+∞）．…（14分）

點評 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)，平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、向量的數(shù)量積坐標(biāo)運算性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．