【題目】已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，，該橢圓與軸正半軸交于點(diǎn)，且是邊長為的等邊三角形.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過點(diǎn)任作一直線交橢圓于，兩點(diǎn)，平面上有一動點(diǎn)，設(shè)直線，，的斜率分別為，，，且滿足，求動點(diǎn)的軌跡方程.

【答案】（1）（2）點(diǎn)的軌跡的方程為

【解析】

（1）根據(jù)焦點(diǎn)，得到 的關(guān)系求橢圓的方程.

（2）當(dāng)過點(diǎn)的直線斜率存在時，設(shè)直線方程為，與橢圓方程聯(lián)立，得，因為直線，，的斜率分別為，，，且滿足， 所以有，再利用韋達(dá)理化簡求解.注意斜率不存在的情況的分析.

（1）因為是邊長為的等邊三角形，

所以 ，

所以橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）當(dāng)過點(diǎn)的直線斜率存在時，設(shè)直線方程為，

設(shè)，，，

聯(lián)立方程，

得，

由韋達(dá)定理得，

，，

因為，

所以，

所以，

即，

所以或（舍去），

②當(dāng)過點(diǎn)的直線斜率不存在時，

即為，此時 ，

可知直線上任意一點(diǎn)亦滿足條件.

所以動點(diǎn)的軌跡的方程為.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中，，，，，，，平面，點(diǎn)在棱上.

（1）求證：平面平面；

（2）若，求直線與平面所成角的正弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的右焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)的直線l與E交于A，B兩點(diǎn).當(dāng)l過點(diǎn)F時，直線l的斜率為，當(dāng)l的斜率不存在時，.

（1）求橢圓E的方程.

（2）以AB為直徑的圓是否過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在直角坐標(biāo)系中，曲線：（為參數(shù)）.以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線：.

（1）求的普通方程和的直角坐標(biāo)方程；

（2）若曲線與交于，兩點(diǎn)，，的中點(diǎn)為，點(diǎn)，求的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖所示，在四棱錐中，底面是菱形，，與交于點(diǎn)，底面，為的中點(diǎn)，.

（1）求證： 平面；

（2）求異面直線與所成角的余弦值；

（3）求與平面所成角的正弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】工廠質(zhì)檢員從生產(chǎn)線上每半個小時抽取一件產(chǎn)品并對其某個質(zhì)量指標(biāo)進(jìn)行檢測，一共抽取了件產(chǎn)品，并得到如下統(tǒng)計表．該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品在一年內(nèi)所需的維護(hù)次數(shù)與指標(biāo)有關(guān)，具體見下表.

質(zhì)量指標(biāo)

頻數(shù)

一年內(nèi)所需維護(hù)次數(shù)

（1）以每個區(qū)間的中點(diǎn)值作為每組指標(biāo)的代表，用上述樣本數(shù)據(jù)估計該廠產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)的平均值（保留兩位小數(shù)）；

（2）用分層抽樣的方法從上述樣本中先抽取件產(chǎn)品，再從件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取件產(chǎn)品，求這件產(chǎn)品的指標(biāo)都在內(nèi)的概率；

（3）已知該廠產(chǎn)品的維護(hù)費(fèi)用為元/次，工廠現(xiàn)推出一項服務(wù)：若消費(fèi)者在購買該廠產(chǎn)品時每件多加元，該產(chǎn)品即可一年內(nèi)免費(fèi)維護(hù)一次.將每件產(chǎn)品的購買支出和一年的維護(hù)支出之和稱為消費(fèi)費(fèi)用.假設(shè)這件產(chǎn)品每件都購買該服務(wù)，或者每件都不購買該服務(wù)，就這兩種情況分別計算每件產(chǎn)品的平均消費(fèi)費(fèi)用，并以此為決策依據(jù)，判斷消費(fèi)者在購買每件產(chǎn)品時是否值得購買這項維護(hù)服務(wù)？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°，PA＝PD＝AD＝2，點(diǎn)M在線段PC上，且PM＝2MC，N為AD的中點(diǎn)．

（1）求證：AD⊥平面PNB；

（2）若平面PAD⊥平面ABCD，求三棱錐PNBM的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】隨著人民生活水平的日益提高,某小區(qū)居民擁有私家車的數(shù)量與日俱增.由于該小區(qū)建成時間較早,沒有配套建造地下停車場,小區(qū)內(nèi)無序停放的車輛造成了交通的擁堵.該小區(qū)的物業(yè)公司統(tǒng)計了近五年小區(qū)登記在冊的私家車數(shù)量(累計值,如124表示2016年小區(qū)登記在冊的所有車輛數(shù),其余意義相同),得到如下數(shù)據(jù):

編號

1

2

3

4

5

年份

2014

2015

2016

2017

2018

數(shù)量（單位：輛）

34

95

124

181

216

（1）若私家車的數(shù)量與年份編號滿足線性相關(guān)關(guān)系,求關(guān)于的線性回歸方程,并預(yù)測2020年該小區(qū)的私家車數(shù)量；

(2)小區(qū)于2018年底完成了基礎(chǔ)設(shè)施改造,劃設(shè)了120個停車位,為解決小區(qū)車輛亂停亂放的問題,加強(qiáng)小區(qū)管理,物業(yè)公司決定禁止無車位的車輛進(jìn)入小區(qū),由于車位有限，物業(yè)公司決定在2019年度采用網(wǎng)絡(luò)競拍的方式將車位對業(yè)主出租,租期一年,競拍方案如下：

①截至2018年已登記在冊的私家車業(yè)主擁有競拍資格；

②每車至多申請一個車位,由車主在競拍網(wǎng)站上提出申請并給出自己的報價；

③根據(jù)物價部門的規(guī)定,競價不得超過1200元；

④申請階段截止后,將所有申請的業(yè)主報價自高到低排列,排在前120位的業(yè)主以其報價成交；

⑤若最后出現(xiàn)并列的報價,則以提出申請的時間在前的業(yè)主成交,為預(yù)測本:次競拍的成交最低價,物業(yè)公司隨機(jī)抽取了有競拍資格的40位業(yè)主進(jìn)行競拍意向的調(diào)查,統(tǒng)計了他們的擬報競價,得到如下頻率分布直方圖：

（�。┣笏槿〉臉I(yè)主中有意向競拍報價不低于1000元的人數(shù)；

（ⅱ）如果所有符合條件的車主均參與競拍,利用樣木估計總體的思想,請你據(jù)此預(yù)測至少需要報價多少元才能競拍車位成功?(精確到整數(shù))

參考公式:對于一組數(shù)據(jù),其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為： ，

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某學(xué)習(xí)軟件以數(shù)學(xué)知識為題目設(shè)置了一項闖關(guān)游戲，共有15關(guān)，每過一關(guān)可以得到一定的積分，現(xiàn)有三種積分方案供闖關(guān)者選擇.方案一：每闖過一關(guān)均可獲得40積分；方案二：闖過第一關(guān)可獲得5積分，后面每關(guān)的積分都比前一關(guān)多5；方案三：闖過第一關(guān)可獲得0.5積分，后面每關(guān)的積分都是前一關(guān)積分的2倍.若某關(guān)闖關(guān)失敗則停止游戲，最終積分為闖過的各關(guān)的積分之和，設(shè)三種方案闖過n（且）關(guān)后的積分之和分別為，要求闖關(guān)者在開始前要選擇積分方案．

（1）求出的表達(dá)式；

（2）為獲得盡量多的積分，如果你是一個闖關(guān)者，試分析這幾種積分方案該如何選擇？小明通過試驗后覺得自己至少能闖過12關(guān)，則他應(yīng)該選擇第幾種積分方案？

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同步練習(xí)冊答案