Question

6．已知拋物線y²=4x，若過(guò)焦點(diǎn)F的兩條直線滿足l₁⊥l₂，且直線l₁與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，l₂與拋物線交于C、D兩點(diǎn)，則四邊形ACBD面積的最小值是32．

Answer 1

分析 求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)出直線方程，利用弦長(zhǎng)公式，表示四邊形的面積，運(yùn)用基本不等式求解即可．

解答 解：拋物線y²=4x，過(guò)焦點(diǎn)F（1，0），由題意，直線l₁、l₂的斜率都存在且不為0，
設(shè)直線l₁的方向向量為（1，k）（k＞0），則（1，k）也是直線l₂的一個(gè)法向量，
所以直線l₁的方程為y=k（x-1），…（2分）
直線l₂的方程為y=-$\frac{1}{k}$（x-1），即x+ky-1=0． …（3分）
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄）．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，得k²x²-（2k²+4）x+k²=0…（4分）
則x₁+x₂=$\frac{4+2{k}^{2}}{{k}^{2}}$，x₁x₂=1…（5分）．
|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x₂-x₁|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（\frac{4+2{k}^{2}}{{k}^{2}}）^{2}-4}$=$\frac{4+4{k}^{2}}{{k}^{2}}$．
同理可得：|CD|=4+4k²．
則四邊形ACBD面積為：$\frac{1}{2}|CD||AB|$=（2+2k²）•$\frac{4+4{k}^{2}}{{k}^{2}}$=8（k²+$\frac{1}{{k}^{2}}$+2）≥32．
當(dāng)且僅當(dāng)k=1時(shí)取等號(hào)．
故答案為：32．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，直線與拋物線的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查三角形面積的最小值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意均值定理的合理運(yùn)用．