如圖,已知四棱錐P-ABCD的底面為菱形,∠BCD=60°,PD⊥AD.點(diǎn)E是BC邊上的中點(diǎn).
(1)求證:AD⊥面PDE;
(2)若二面角P-AD-C的大小等于60°,且AB=4,PD=
8
3
3
;①求VP-ABED; ②求二面角P-AB-C大。
分析:(1)先證明DE⊥AD,根據(jù)PD⊥AD,從而可證AD⊥面PDE
(2)①由(1)可知∠PDE為二面角P-AD-C的平面角,過P作PF⊥DE交于F,則PF⊥面ABCD,從而可求PF=PDsin60°=4,又易求SABED=6
3
,從而可求VP-ABED.
②連接BF.可得∠PBF為二面角P-AB-C平面角.在△BEF中,可求BF=2EF=
4
3
3
,從而可求二面角P-AB-C的平面角.
解答:(1)證明:∵E為BC邊中點(diǎn)∴CE=
1
2
BC=
1
2
CD

又∵∠BCD=60°∴DE⊥BC∴DE⊥AD
∵PD⊥AD∴AD⊥面PDE
(2)解:∵AD⊥面PDE∴AD⊥PD,AD⊥DE
∴∠PDE為二面角P-AD-C的平面角∴∠PDE=60°
過P作PF⊥DE交于F,則PF⊥面ABCD
∴PF=PDsin60°=4,DF=PDcos60°=
4
3
3
    
在底面ABCD中:DE=4sin60°=2
3

SABED=6
3

∴①VP-ABED=
1
3
SABED•PF=
1
3
×6
3
×4=8
3

②連接BF.∵EF=
2
3
3
,BE=2
tan∠EBF=
3
3
∴∠EBF=30°
∴∠FBA=120°-30°=90°∴FB⊥AB
∵PF⊥面ABCD∴PB⊥AB
∴∠PBF為二面角P-AB-C平面角.
在△BEF中:BF=2EF=
4
3
3

tan∠PBF=
3
,∴∠PBF=60°
∴二面角P-AB-C為60°
點(diǎn)評(píng):本題以四棱錐為載體,考查線面垂直,考查四棱錐的體積,考查面面角,綜合性強(qiáng).
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖:已知四棱錐P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,ABCD是正方形,E是PA的中點(diǎn),
求證:
(1)PC∥平面EBD.
(2)平面PBC⊥平面PCD.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知四棱錐P-ABCD,底面ABCD為菱形,PA⊥平面ABCD,∠ABC=60°,E、F分別是BC、PC的中點(diǎn).
(1)證明:AE⊥PD;
(2)設(shè)AB=2,若H為線段PD上的動(dòng)點(diǎn),EH與平面PAD所成的最大角的正切值為
6
2
,求AP的長(zhǎng)度.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•崇明縣二模)如圖,已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD為正方形,PA⊥平面ABCD,E、F分別是BC,PC的中點(diǎn),AB=2,AP=2.
(1)求證:BD⊥平面PAC;
(2)求二面角E-AF-C的大。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•吉林二模)如圖,已知四棱錐P-ABCD的底面是正方形,PA⊥面ABCD,且PA=AD=2,點(diǎn)M,N分別在PD,PC上,
PN
=
1
2
NC
,PM=MD.
(Ⅰ) 求證:PC⊥面AMN;
(Ⅱ)求二面角B-AN-M的余弦值.

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同步練習(xí)冊(cè)答案