Question

14．已知x，y∈R，且$\left\{\begin{array}{l}x+y≤4\\ x-3y≥0\\ y≥0\end{array}$，則存在θ∈R，使得（x-4）cosθ+ysinθ+$\sqrt{2}$=0的概率為（　　）

• A． $\frac{π}{4}$
• B． $\frac{π}{8}$
• C． $2-\frac{π}{4}$
• D． $1-\frac{π}{8}$

Answer 1

分析 作出不等式組對應的平面區(qū)域，求解（x-4）cosθ+ysinθ+$\sqrt{2}$=0成立的等價條件，利用數(shù)形結合求出對應的面積，根據(jù)幾何概型的概率公式進行求解即可得到結論．

解答 解：作出不等式組對應的平面區(qū)域如圖：對應的區(qū)域為三角形OAB，
若存在θ∈R，使得（x-4）cosθ+ysinθ+$\sqrt{2}$=0成立，
則$\sqrt{（x-4）^{2}+{y}^{2}}$（$\frac{x-4}{\sqrt{（x-4）^{2}+{y}^{2}}}$cosθ+$\frac{y}{\sqrt{（x-4）^{2}+{y}^{2}}}$sinθ）=-$\sqrt{2}$，
令sinα=$\frac{x-4}{\sqrt{（x-4）^{2}+{y}^{2}}}$，則cosα=$\frac{x-4}{\sqrt{（x-4）^{2}+{y}^{2}}}$，
則方程等價為$\sqrt{（x-4）^{2}+{y}^{2}}$sin（α+θ）=-$\sqrt{2}$，
即sin（α+θ）=-$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{（x-4）^{2}+{y}^{2}}}$，
∵存在θ∈R，使得（x-4）cosθ+ysinθ+$\sqrt{2}$=0成立，
∴|-$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{（x-4）^{2}+{y}^{2}}}$|≤1，即$\sqrt{（x-4）^{2}+{y}^{2}}$≥$\sqrt{2}$，
即（x-4）²+y²≥2
則對應的區(qū)域在（4，0）為圓心，半徑為$\sqrt{2}$的外部，
由$\left\{\begin{array}{l}{x+y=4}\\{x-3y=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=1}\end{array}\right.$，即A（3，1），
A也在圓上，則三角形OAC的面積S=$\frac{1}{2}×4$×1=2，
直線x+y=4的傾斜角為$\frac{3π}{4}$，
則∠ACB=$\frac{π}{4}$，即扇形的面積為S=$\frac{1}{2}×（\sqrt{2}）^{2}×\frac{π}{4}$=$\frac{π}{4}$，
則P（x，y）構成的區(qū)域面積為S=2-$\frac{π}{4}$，
則對應的概率P=$\frac{2-\frac{π}{4}}{2}$=$1-\frac{π}{8}$，
故選：D．

點評 本題主要考查線性規(guī)劃和幾何概型的概率的計算，根據(jù)條件作出對應的圖象，求出對應的面積是解決本題的關鍵．綜合性較強．難度較大．