Question

設(shè)等比數(shù)列{a_n}滿足公比q∈N^*，a_n∈N^*，且{a_n}中的任意兩項(xiàng)之積也是該數(shù)列中的一項(xiàng)，若a₁=2⁸¹，則q的所有可能取值的集合為________．

Answer 1

{2⁸¹，2²⁷，2⁹，2³，2}
分析：依題意可求得該等比數(shù)列的通項(xiàng)公式a_n，設(shè)該數(shù)列中的任意兩項(xiàng)為a_m，a_t，它們的積為a_p，求得q=，分析即可．
解答：由題意，a_n=2⁸¹q^n-1，設(shè)該數(shù)列中的任意兩項(xiàng)為a_m，a_t，它們的積為a_p，
則為a_m•a_t=a_p，即2⁸¹q^m-1•2⁸¹q^t-1=2⁸¹•q^p-1，（q，m，t，p∈N^*），
∴q=，
故p-m-t+1必是81的正約數(shù)，
即p-m-t+1的可能取值為1，3，9，27，81，
即的可能取值為1，3，9，27，81，
所以q的所有可能取值的集合為{2⁸¹，2²⁷，2⁹，2³，2}
點(diǎn)評(píng)：本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，依題意求得q=是難點(diǎn)，分析得到p-m-t+1必是81的正約數(shù)是關(guān)鍵，考查分析與運(yùn)算能力，屬于難題．