Question

已知直線x-y+=0經(jīng)過(guò)橢圓C：（a＞b＞0）的一個(gè)頂點(diǎn)B和一個(gè)焦點(diǎn)F．
（1）求橢圓的離心率；
（2）設(shè)P是橢圓C上動(dòng)點(diǎn)，求||PF|-|PB||的取值范圍，并求||PF|-|PB||取最小值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)直線x-y+=0，可得B（0，1），F(xiàn)（，0），即以b=1，c=，進(jìn)而可得橢圓的離心率；
（2）0≤||PF|-|PB||≤|BF|，當(dāng)且僅當(dāng)|PF|=|PB|時(shí)，||PF|-|PB||=0，當(dāng)且僅當(dāng)P是直線BF與橢圓C的交點(diǎn)時(shí)，||PF|-|PB||=|BF|…（6分），|BF|=2，由此可得||PF|-|PB||的取值范圍是[0，2]；根據(jù)|PF|=|PB|，可得點(diǎn)P的坐標(biāo)．
解答：解：（1）依題意，B（0，1），F(xiàn)（，0），所以b=1，c=…（2分），
所以…（3分），
所以橢圓的離心率…（4分）．
（2）0≤||PF|-|PB||≤|BF|，當(dāng)且僅當(dāng)|PF|=|PB|時(shí)，||PF|-|PB||=0…（5分），
當(dāng)且僅當(dāng)P是直線BF與橢圓C的交點(diǎn)時(shí)，||PF|-|PB||=|BF|…（6分），|BF|=2，
所以||PF|-|PB||的取值范圍是[0，2]…（7分）．
設(shè)P（m，n），由|PF|=|PB|得m+n+1=0…（9分），
代入橢圓方程，消去n可得13m²+8m=0，∴m=0或m=-
m=0時(shí)，n=-1；m=-時(shí)，n=…（11分），
∴所求點(diǎn)P為p（0，-1）和P（-，）…（12分）．
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，考查橢圓方程的運(yùn)用，正確確定橢圓的方程是關(guān)鍵．