Question

19．在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且$\frac{\sqrt{3}a}{cosA}$=$\frac{sinB}$．
（Ⅰ）求角A的值；
（Ⅱ）若B=$\frac{π}{6}$，且△ABC的面積為4$\sqrt{3}$，求BC邊上的中線AM的大小．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由正弦定理得$\frac{\sqrt{3}a}{cosA}=\frac{a}{sinA}$，從而tanA=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，由此能求出A的值．
（Ⅱ）推導(dǎo)出B=$\frac{π}{6}$，∠C=$\frac{2π}{3}$，設(shè)AC=BC=2a，則S_△ABC=$\sqrt{3}$a²=4$\sqrt{3}$，得a=2，由此利用余弦定理能求出AM．

解答 解：（Ⅰ）由正弦定理：$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}$，又由已知$\frac{\sqrt{3}a}{cosA}=\frac{sinB}$，
所以$\frac{\sqrt{3}a}{cosA}=\frac{a}{sinA}$，tanA=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
因為A∈（0，π），所以A=$\frac{π}{6}$．
（Ⅱ）由已知B=$\frac{π}{6}$，則△ABC是等腰三角形，∠C=$\frac{2π}{3}$，設(shè)AC=BC=2a，
S_△ABC=$\frac{1}{2}AC•BC•sin∠ACB$=$\frac{1}{2}•（2a）^{2}sin\frac{2π}{3}$=$\sqrt{3}$a²，
由已知△ABC的面積為4$\sqrt{3}$，得a²=4，a=2，
△ACM中，由余弦定理，AM²=CA²+CM²-2CA•CM•cos$\frac{2π}{3}$
=4²+2²-2×2×4×（-$\frac{1}{2}$）=28，
所以AM=2$\sqrt{7}$．

點評 本題考查余弦定理、正弦定理、解三角形等基礎(chǔ)知識，考查抽象概括能力、數(shù)據(jù)處理能力、運算求解能力，考查應(yīng)用意識、創(chuàng)新意識，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類與整合思想，是中檔題．