Question

9．已知數(shù)列{b_n}滿足b_n=|$\frac{{a}_{n}+2}{{a}_{n}-1}$|，其中a₁=2，a_n+1=$\frac{2}{{a}_{n}+1}$．
（1）求b₁，b₂，b₃，并猜想b_n的表達(dá)式（不必寫出證明過(guò)程）；
（2）由（1）寫出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．

Answer 1

分析 （1）由已知結(jié)合數(shù)列遞推式求得b₁，b₂，b₃，并猜想b_n的表達(dá)式；
（2）由等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求得數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．

解答 解：（1）∵a₁=2，a_n+1=$\frac{2}{{a}_{n}+1}$，∴${a}_{2}=\frac{2}{3}$，${a}_{3}=\frac{6}{5}$，
又b_n=|$\frac{{a}_{n}+2}{{a}_{n}-1}$|，得b₁=4，b₂=8，b₃=16，
猜想：$_{n}={2}^{n+1}$；
（2）由（1）可得，數(shù)列{b_n}是以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，
則有${S}_{n}=\frac{4×（1-{2}^{n}）}{1-2}={2}^{n+2}-4$．
證明：當(dāng)n=1時(shí)，${S}_{1}={2}^{1+2}-4=4$成立；
假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，有${S}_{k}={2}^{k+2}-4$，
則當(dāng)n=k+1時(shí)，${S}_{k+1}={S}_{k}+_{k+1}={2}^{k+2}-4+{2}^{k+2}$=2^k+3-4=2^（k+1）+2-4．
綜上，${S}_{n}={2}^{n+2}-4$成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列遞推式，考查了等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，訓(xùn)練了利用歸納法證明數(shù)列等式，是中檔題．