Question

若函數(shù)y=f（x）對定義域D的每一個x₁，都存在唯一的x₂∈D，使f（x₁）f（x₂）=1成立，則稱f（x）為“自倒函數(shù)”，下列命題正確的是

 

．（把你認為正確自倒函數(shù)命題的序號都填上）
（1）f（x）=sinx+

2

（x∈[-

π

2

，

π

2

]）是自倒函數(shù)；  
（2）自倒函數(shù)f（x）的值域可以是R；
（3）自倒函數(shù)f（x）的可以是奇函數(shù)；
（4）若y=f（x），y=g（x）都是自倒函數(shù)，且定義域相同，則y=f（x）•g（x）是自倒函數(shù)．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：新定義,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）中，由f（x₁）f（x₂）=1，知f（x₂）=

1

f(x1)

，可以求出x₂是滿足條件的；
（2）中，令f（x₁）=0，可以判定f（x₁）f（x₂）=1不成立；
（3）中，當(dāng)f（x）是奇函數(shù)時，不妨設(shè)f（x）=

1

x

，其中x∈（-∞，0）∪（0，+∞），驗證滿足條件；
（4）中，令f（x）=g（x）=

1

x

，x∈（-∞，0）∪（0，+∞），是定義域上的自倒函數(shù)，但f（x）g（x）=

1

x2

不是自倒函數(shù)，驗證可得．

解答： 解：（1）中，∵f（x）=sinx+

2

（x∈[-

π

2

，

π

2

]），任取x₁∈[-

π

2

，

π

2

]，有sinx₁∈[-1，1]，∴f（x₁）=sinx₁+

2

，且f（x₁）∈[

2

-1，

2

+1]；
由f（x₁）•f（x₂）=1，得f（x₂）=

1

f(x1)

=

1

sinx1+ 2

，即sinx₂+

2

=

1

sinx1+ 2

，∴sinx₂=

1

sinx1+ 2

-

2

，且sinx₂∈[-1，1]，∴x₂=arcsin（

1

sinx1+ 2

-

2

）
其中x₂∈[-

π

2

，

π

2

]，
∴f（x）=sinx+

2

（x∈[-

π

2

，

π

2

]）是自倒函數(shù)，即（1）正確；
在（2）中，f（x）的值域是R，∴當(dāng)f（x₁）=0時，f（x₁）f（x₂）=0，命題不成立，即f（x）不是自倒函數(shù)；
在（3）中，f（x）是奇函數(shù)時，不妨設(shè)f（x）=

1

x

，x∈（-∞，0）∪（0，+∞），
則任取x₁∈（-∞，0）∪（0，+∞），有f（x₁）=

1

x1

∈（-∞，0）∪（0，+∞），由f（x₁）f（x₂）=

1

x1

•

1

x2

=1，得x₂=

1

x1

，其中x₂∈（-∞，0）∪（0，+∞），
∴f（x）是定義域上的自倒函數(shù)；
（4）中，當(dāng)y=f（x），y=g（x）都是自倒函數(shù)，且定義域相同時，函數(shù)y=f（x）g（x）不一定是自倒函數(shù)，例如f（x）=g（x）=

1

x

，x∈（-∞，0）∪（0，+∞），
f（x）g（x）=

1

x2

不是自倒函數(shù)，因為由

1

x12

•

1

x22

=1得x₂=±

1

x1

，不唯一，故原命題不成立；
故答案為：①③．

點評：本題考查新定義“自倒函數(shù)”的理解與應(yīng)用，著重考查推理分析與綜合運算能力，屬于難題．