Question

【題目】已知函數，若函數僅有個零點，則實數的取值范圍為______.

Answer 1

【答案】

【解析】

令，得出，令，將問題轉化為直線與函數的圖象有且僅有個交點，然后對與的大小進行分類討論，利用數形結合思想得出關于實數的等式或不等式，即可求出實數的取值范圍.

令，則，得，令，

則問題轉化為直線與函數的圖象有且僅有個交點，

當時，，此時函數的圖象與直線只有個公共點，符合題意；

當時，，若函數的圖象與直線只有個公共點，

則，如下圖所示，

顯然成立，下面解不等式，即，

構造函數，，，令，得.

當時，，當時，.

所以，函數在處取得最大值，即，

所以，當且時，不等式恒成立，此時，.

當時，，若函數的圖象與直線有個交點，則有，

即，由上可知，（舍去）.

綜上所述，.

故答案為：.