Question

（本小題共9分）

已知函數(shù)f（x）=。

（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的定義域；

（Ⅱ）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性，并證明；

（Ⅲ）判斷函數(shù)f（x）在定義域上的單調(diào)性，并用定義證明。

 

Answer 1

【答案】

(1)x∈（－1，1）(2)奇函數(shù)（3）根據(jù)函數(shù)的定義法加以證明，一設(shè)二作差，三變形，四定號(hào)來完成，并下結(jié)論，屬于基礎(chǔ)題。

【解析】

試題分析：解：（Ⅰ）由>0，解得－1<x<1，所以f（x）的定義域是（－1，1） 3分

證明：（Ⅱ）由（Ⅰ）知x∈（－1，1）

又因?yàn)閒（－x）= ===－=－f（x）.

所以函數(shù)f（x）是奇函數(shù)。                                6分

（Ⅲ）設(shè)－1<x<x<1，

f（x）－f（x）=－=

因?yàn)?－x>1－x>0；1+ x>1+ x>0，

所以>1.  所以>0.

所以函數(shù)f（x）= 在（－1，1）上是增函數(shù).           9分

考點(diǎn)：函數(shù)概念和性質(zhì)的運(yùn)用

點(diǎn)評(píng)：解決該試題的關(guān)鍵是能利用函數(shù)的性質(zhì)來分析證明函數(shù)單調(diào)性以及奇偶性的判定，屬于基礎(chǔ)題。