Question

5．如圖，在三棱錐P-ABC中，底面ABC是邊長(zhǎng)為4的正三角形，PA=PC=2$\sqrt{3}$，側(cè)面PAC⊥底面ABC，M，N分別為AB、PB的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：AC⊥PB；
（Ⅱ）求二面角N-CM-B的大小的余弦值．

Answer 1

分析 （1）取AC中點(diǎn)E，連結(jié)PE，BE，由已知得PE⊥AC，BE⊥AC，由此能證明AC⊥PB．
（2）建立坐標(biāo)系求出平面的法向量，利用向量法進(jìn)行求解即可．

解答 （1）證明：取AC中點(diǎn)E，連結(jié)PE，BE，
∵底面ABC是邊長(zhǎng)為4的正三角形，PA=PC=2$\sqrt{3}$，
∴PE⊥AC，BE⊥AC，
∵PE∩BE=E，∴AC⊥平面BPE，
∵PB?平面BPE，∴AC⊥PB．
（2）解：以E為原點(diǎn)，以EA為x軸，EB為y軸，EP為z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系如圖：
∵底面ABC是邊長(zhǎng)為4的正三角形，PA=PC=2$\sqrt{3}$，M，N分別為AB、PB的中點(diǎn)
∴則E（0，0，0），A（2，0，0），C（-2，0，0），P（0，0，2$\sqrt{2}$），B（0，2$\sqrt{3}$，0），
則M（1，$\sqrt{3}$，0），N（0，$\sqrt{3}$，$\sqrt{2}$），
則$\overrightarrow{CM}$=（3，$\sqrt{3}$，0），$\overrightarrow{CN}$=（2，$\sqrt{3}$，$\sqrt{2}$），
則平面CMB的一個(gè)法向量為$\overrightarrow{n}$=（0，0，1），
設(shè)$\overrightarrow{m}$=（x，y，z）為面CMNE的一個(gè)法向量，
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{CM}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{CN}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{3x+\sqrt{3}y=0}\\{2x+\sqrt{3}y+\sqrt{2}z=0}\end{array}\right.$，
令y=$\sqrt{3}$，則x=-1，z=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
則$\overrightarrow{m}$=（-1，$\sqrt{3}$，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）
∴cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{-\frac{\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{1+（\sqrt{3}）^{2}+（-\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}}}$=$\frac{-\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{3\sqrt{2}}{2}}$=-$\frac{1}{3}$，
∵二面角N-CM-B是銳二面角，
則二面角N-CM-B的大小的余弦值為$\frac{1}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查空間中線面垂直的性質(zhì)和空間角的計(jì)算，涉及二面角的平面角，利用向量法是解決空間角常用的方法，考查的知識(shí)面較廣，難度中等．