Question

16．已知雙曲線$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{b^2}=1（b＞0）$，以原點為圓心，雙曲線的實半軸為半徑長的圓與雙曲線的兩條漸近線相交于A．B．C．D．四點，四邊形ABCD的面積為2b，則雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{12}$=1．

Answer 1

分析 以原點為圓心，雙曲線的實半軸長為半徑長的圓的方程為x²+y²=4，雙曲線的兩條漸近線方程為y=±$\frac{2}$x，利用四邊形ABCD的面積為2b，求出A的坐標，代入圓的方程，即可得出結論．

解答 解：以原點為圓心，雙曲線的實半軸長為半徑長的圓的方程為x²+y²=4，
雙曲線的兩條漸近線方程為y=±$\frac{2}$x，
設A（x，$\frac{2}$x），∵四邊形ABCD即矩形ABCD的面積為2b，
∴2x•bx=2b，
∴x=±1，
將A（1，$\frac{2}$）代入x²+y²=4，可得1+$\frac{^{2}}{4}$=4，∴b²=12，
∴雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{12}$=1，
故答案為：$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{12}$=1．

點評 本題考查雙曲線的方程與性質，注意運用方程思想和代入法，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．