Question

14．如圖，M是正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁對角線AC₁上的動點，過點M作垂直于面ACC₁A₁的直線與正方體表面分別交于P、Q兩點，設(shè)AM=x，PQ=y，則函數(shù)y=f（x）的圖象大致為（　�。�

• A．
• B．
• C．
• D．

Answer 1

分析 根據(jù)題意和正方體的特征，分析點P動的過程中，x隨著y變化情況以及變化速度，結(jié)合正方體的對稱性質(zhì)可求．

解答 解：設(shè)正方體的棱長為1，AM=x∈[0，$\sqrt{3}$]，PQ=y∈[0，$\sqrt{2}$]，PQ在底面上的射影平行于BD，且最大值為BD．
從而當(dāng)P在AO上時，O為AC₁的中點，分別過M、Q、P作底面的垂線，垂足分別為M₁、Q₁、P₁，
則y=PQ=P₁Q₁=2M₁Q₁=2AM₁=2•xcos∠C₁AC=2x•$\frac{\sqrt{2}}{3}$=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$x．
而當(dāng)P在C₁O上時，然后x變大y變小，直到y(tǒng)變?yōu)?，根據(jù)對稱性可知此時y=2$\sqrt{2}$-$\frac{2\sqrt{6}}{3}$x，
故函數(shù)y=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2\sqrt{6}}{3}x，x∈[0，\frac{\sqrt{3}}{2}]}\\{2\sqrt{2}-\frac{2\sqrt{6}}{3}x，x∈（\frac{\sqrt{3}}{2}，\sqrt{3}]}\end{array}\right.$，
結(jié)合所給的答案，
故選：C．

點評 本題考查了函數(shù)圖象的變化，根據(jù)幾何體的特征和條件進(jìn)行分析兩個變量的變化情況，再用圖象表示出來，考查了作圖和讀圖能力，屬于中檔題．