如圖，四棱錐P-ABCD的底面是AB=2，BC=
2
的矩形，側(cè)面PAB是等邊三角形，且側(cè)面PAB⊥底面ABCD，求側(cè)棱PB與平面PCD所成角的正弦值．
考點(diǎn)：直線與平面所成的角
專題：空間角
分析：取AB中點(diǎn)O，以O(shè)為原點(diǎn)，OB為x軸，OP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出側(cè)棱PB與平面PCD所成角的正弦值．
解答： 解：取AB中點(diǎn)O，以O(shè)為原點(diǎn)，OB為x軸，OP為z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，
由已知得B（1，0，0），P（0，0，
3
），
C（1，
2
，0），D（-1，
2
，0），
PC
=（1，
2
，-
3
），
PD
=（-1，
2
，-
3
），
設(shè)平面PCD的法向量
n
=（x，y，z），
則
n
•
PC
=x+
2
y-
3
z=0
n
•
PD
=-x+
2
y-
3
z=0
，
取y=
3
，得
n
=（0，
3
，
2
），
PB
=（1，0，-
3
），
設(shè)側(cè)棱PB與平面PCD所成角的為θ，
sinθ=|cos＜
PB
，
n
＞|=|
-
6
5
×2
|=
30
10
．
∴側(cè)棱PB與平面PCD所成角的正弦值為
30
10
．
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面所成角的正弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如果集合A={x|ax2+2x+1=0}中只有一個(gè)元素，則a的值是（　　）
A、0B、0 或1
C、1D、不能確定

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知集合A是函數(shù)y=lg[-x2+ax+（1-a）]的定義域，B是不等式
3x
x+1
≤1的解集．
（1）若集合A中恰有兩個(gè)正整數(shù)解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）若A∩B=∅，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知集合m={x∈Z|-x2+6x＞0}，N={x|x2-5＜0}，則M∩N等于（　　）
A、{1，2，3}
B、{1，2}
C、{2，3}
D、{3，4}

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知全集合A={x|x2-3x-10≤0}，B={x|x2+x-12≤0}，C={x|x2-4ax+3a2＜0}，若A∩（∁RB）⊆C，試確定實(shí)數(shù)a的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

繪制函數(shù)f（x）=x2+2|x|的圖象（不用寫作法），并依據(jù)圖象求出函數(shù)的增區(qū)間和函數(shù)的值域．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知底面邊長(zhǎng)是2cm，高是3cm，求下列正棱錐的側(cè)棱的長(zhǎng)．
（1）正三棱錐；
（2）正四棱錐．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng)為4，過(guò)同一頂點(diǎn)的兩條棱與此對(duì)角線成角均為60°，則長(zhǎng)方體的體積是（　�。�
A、16
3
B、8
3
C、8
2
D、4
3

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=lnx+
1
2
x2-（m+2）x，在x=a和x=b處有兩個(gè)極值點(diǎn)，其中a＜b，m∈R．
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（Ⅱ）若
b
a
≥e（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），求f（b）-f（a）的最大值．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案