Question

設函數(shù)f（x）=lnx+

1

2

x²-（m+2）x，在x=a和x=b處有兩個極值點，其中a＜b，m∈R．
（Ⅰ）求實數(shù)m的取值范圍；
（Ⅱ）若

b

a

≥e（e為自然對數(shù)的底數(shù)），求f（b）-f（a）的最大值．

Answer 1

考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）函數(shù)有兩個極值點，結合定義域，知其導數(shù)有兩個正實數(shù)根，得到不等式組，求出m的范圍；
（Ⅱ）由題知a，b是兩個極值點，結合韋達定理，得到f（b）-f（a）關于a，b的關系式，再用換元t=

b

a

，構造關于t的函數(shù)，求出g（t）的最大值．

解答： 解：（Ⅰ） f′(x)=

x2-(m+2)x+1

x

，
則由題意得方程x²-（m+2）x+1=0有兩個正根，
故

(m+2)2-4＞0 m+2＞0

，
解得m＞0．故實數(shù)m的取值范圍是m＞0．
（Ⅱ）f(b)-f(a)=ln

b

a

+

1

2

(b2-a2)-(m+2)(b-a)，
又m+2=a+b，ab=1∴f(b)-f(a)=ln

b

a

-

1

2

(b2-a2)=ln

b

a

-

1

2

(

b2-a2

ab

)=ln

b

a

-

1

2

(

b

a

-

a

b

)，
設t=

b

a

(t≥e)，故，構造函數(shù)g(t)=lnt-

1

2

(t-

1

t

)(t≥e)
g′(t)=

1

t

-

1

2

(1+

1

t2

)=-

(t-1)2

2t2

＜0，
所以g（t）在[e，+∞）上是減函數(shù)，g(t)≤g(e)=1-

e

2

+

1

2e

，
f（b）-f（a）的最大值為1-

e

2

+

1

2e

．

點評：本題考查了，極值，韋達定理，換元法，以及構造思想．屬于中檔題．