Question

18．已知正項(xiàng)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且a₁=1，S_n=2ⁿ-1．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列{b_n}滿足b₁=1，$\frac{{2}^{_{n+1}}}{{2}^{_{n}}}$=a_n+1，求數(shù)列{$\frac{1}{_{n}+n-1}$}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用遞推關(guān)系即可得出；
（2）由$\frac{{2}^{_{n+1}}}{{2}^{_{n}}}$=a_n+1，可得：b_n+1-b_n=n．利用“累加求和”與“裂項(xiàng)求和”即可得出．

解答 解：（1）∵a₁=1，S_n=2ⁿ-1．
∴當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=（2ⁿ-1）-（2^n-1-1）=2^n-1．當(dāng)n=1時(shí)也成立．
∴a_n=2ⁿ．
（2）∵$\frac{{2}^{_{n+1}}}{{2}^{_{n}}}$=a_n+1，
∴${2}^{_{n+1}-_{n}}$=2ⁿ，
∴b_n+1-b_n=n．
∴b_n=（b_n-b_n-1）+（b_n-1-b_n-2）+…+（b₂-b₁）+b₁
=（n-1）+（n-2）+…+1+1
=$\frac{n（n-1）}{2}$+1．
∴$\frac{1}{_{n}+n-1}$=$\frac{1}{\frac{n（n-1）}{2}+1+n-1}$=$2（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$．
∴數(shù)列{$\frac{1}{_{n}+n-1}$}的前n項(xiàng)和T_n=2$[（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）]$
=2$（1-\frac{1}{n+1}）$
=$\frac{2n}{n+1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了“累加求和”與“裂項(xiàng)求和”、遞推關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．