Question

14．已知函數(shù)f（x）=a-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$（a∈R）．
（1）試判斷f（x）的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；
（2）若f（x）為定義域上的奇函數(shù)，求滿足f（ax）+f（x²-2a）＜0的x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）直接運用單調(diào)性的定義證明f（x）為R上的增函數(shù)；
（2）運用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性解不等式．

解答 解：（1）f（x）為R上的單調(diào)遞增函數(shù)，證明過程如下：
任取x₁，x₂∈（-∞，+∞），且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=[a-$\frac{2}{{2}^{{x}_{1}}+1}$]-[a-$\frac{2}{{2}^{{x}_{2}}+1}$]
=$\frac{2}{{2}^{{x}_{2}}+1}$-$\frac{2}{{2}^{{x}_{1}}+1}$=$\frac{2（{2}^{{x}_{1}}-{2}^{{x}_{2}}）}{（{2}^{{x}_{1}}+1）（{2}^{{x}_{2}}+1）}$，
因為x₁＜x₂，所以${2}^{{x}_{1}}$＜${2}^{{x}_{2}}$，
所以，f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x）為R上的增函數(shù)；
（2）若f（x）為R上的奇函數(shù)，則f（0）=0，解得a=1，驗證如下：
當a=1時，f（x）=1-$\frac{2}{2^x+1}$=$\frac{2^x-1}{2^x+1}$，而f（-x）=$\frac{1-2^x}{1+2^x}$，
所以，f（x）+f（-x）=0，即f（x）為奇函數(shù)，
此時，不等式f（ax）+f（x²-2a）＜0可化為：f（x）＜f（2-x²），
又∵f（x）為R上的增函數(shù)，∴x＜2-x²，
解得，x∈（-2，1），
故實數(shù)x的取值范圍為（-2，1）．

點評 本題主要考查了函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的判斷和證明，以及應用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性解不等式，屬于中檔題．