Question

9．對于給定的正數(shù)K，定義函數(shù)f_K（x）=$\left\{\begin{array}{l}{f（x），f（x）≤K}\\{K，f（x）＞K}\end{array}\right.$，已知函數(shù)f（x）=（$\frac{1}{3}$）${\;}^{{x}^{2}-2x}$（0≤x＜3），對其定義域內(nèi)的任意x，恒有f_K（x）=f（x），則（　　）

• A． K上最小值為$\frac{1}{27}$
• B． K的最小值為3
• C． K的最大值為$\frac{1}{27}$
• D． K的最大值為3

Answer 1

分析 若f_K（x）=f（x）恒成立，則f（x）=（$\frac{1}{3}$）${\;}^{{x}^{2}-2x}$≤k，（0≤x＜3）恒成立，利用換元法，求出函數(shù)的值域，可得答案．

解答 解：∵函數(shù)f_K（x）=$\left\{\begin{array}{l}{f（x），f（x）≤K}\\{K，f（x）＞K}\end{array}\right.$，
函數(shù)f（x）=（$\frac{1}{3}$）${\;}^{{x}^{2}-2x}$（0≤x＜3），
若f_K（x）=f（x）恒成立，
則f（x）=（$\frac{1}{3}$）${\;}^{{x}^{2}-2x}$≤k，（0≤x＜3）恒成立，
令t=x²-2x，0≤x＜3，
則t∈[-1，3），y=f（x）=（$\frac{1}{3}$）^t∈（$\frac{1}{27}$，3]，
故k≥3，
即K的最小值為3，
故選：B

點評 本題考查的知識點是分段函數(shù)的應用，恒成立問題，指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)．