Question

數(shù)列{a_n}滿足a1=

1

2

，an+1=

1

2-an

(n∈N*)．
（1）證明：數(shù)列{

1

an-1

}是等差數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項公式．并證明數(shù)列{a_n}是單調(diào)遞增數(shù)列．

Answer 1

分析：（1）由an+1=

1

2-an

(n∈N*)，我們可以給出

1

an+1-1

-

1

an-1

，化簡后，可得一個常數(shù)，再由a1=

1

2

，得

1

a1-1

=-2，則易證明數(shù)列{

1

an-1

}是等差數(shù)列；
（2）由（1）的結(jié)論，我們不難給出數(shù)列{

1

an-1

}的通項公式，進而給出數(shù)列{a_n}的通項公式，判斷a_n+1-a_n的符號，即可判斷數(shù)列的單調(diào)性．

解答：解：（1）∵

1

an+1-1

-

1

an-1

=

1

1 2-an -1

-

1

an-1

=

2-an

-1+an

-

1

an-1

=

-an+1

an-1

=-1，
而

1

a1-1

=-2，
∴數(shù)列{

1

an-1

}是首項為-2，公差為-1的等差數(shù)列．
（2）由（1）得

1

an-1

=-n-1，
∴an=

n

n+1

．
∵an+1-an=

n+1

n+2

-

n

n+1

=

(n2+2n+1)-(n2+2n)

(n+2)(n+1)

=

1

(n+2)(n+1)

＞0，
∴a_n+1＞a_n，
∴數(shù)列{a_n}是單調(diào)遞增數(shù)列．

點評：要判斷一個數(shù)列是否為等差（比）數(shù)列，我們常用如下幾種辦法：①定義法，判斷數(shù)列連續(xù)兩項之間的差（比）是否為定值；②等差（比）中項法，判斷是否每一項都是其前一項與后一項的等差（比）中項；③通項公式法，判斷其通項公式是否為一次（指數(shù)）型函數(shù)；④前n項和公式法．