Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，點(diǎn)E在線段AD上，且CE∥AB．
（Ⅰ）若PA=AB=1，AD=3，CD=，∠CDA=45°，求四棱錐P-ABCD的體積
（II）求證：CE⊥平面PAD．

Answer 1

【答案】分析：（I）由PA⊥平面ABCD，知CE⊥AD，在Rt△ECD中，DE=CD•cos45°=1，CE=CD•sin45°=1，因?yàn)锳B=CE=1，AB∥CE．所以四邊形ABCE為矩形，由此能夠求出四棱錐P-ABCD的體積．
（II）因?yàn)镻A⊥平面ABCD，CE?平面ABCD，所以PA⊥CE．因?yàn)锳B⊥AD，CE∥AB，所以CE⊥AD，由此能夠證明CE⊥平面PAD．
解答：滿(mǎn)分（12分）
（I）解：因?yàn)镻A⊥平面ABCD，CE?平面ABCD，
所以PA⊥CE．
因?yàn)锳B⊥AD，CE∥AB，所以CE⊥AD，
在Rt△ECD中，DE=CD•cos45°=1，CE=CD•sin45°=1，
又因?yàn)锳B=CE=1，AB∥CE，
所以四邊形ABCE為矩形，
所以S_{四邊形ABCD}=S_矩形ADCE+S_△ECD
=AB•AE+CE•DE=1×2+1=，
因?yàn)镻A⊥平面ABCD，PA=1，
所以V_{四棱錐P-ABCD}=
==．
（II）證明：因?yàn)镻A⊥平面ABCD，CE?平面ABCD，
所以PA⊥CE．
因?yàn)锳B⊥AD，CE∥AB，所以CE⊥AD，

因?yàn)镻A∩AD=A，
所以CE⊥平面PAD．
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查直線與直線、直線與平面的位置關(guān)系，幾何體的體積等基礎(chǔ)知識(shí)；考查空間想象能力，推理論證能力，運(yùn)算求解能力；考查數(shù)形結(jié)合思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想．