Question

已知兩點P(-2,2)、Q(0,2)以及一條直線l:y=x,設(shè)長為的線段AB在直線l上移動,求直線PA和QB的交點M的軌跡方程.

Answer 1

解:∵線段AB在直線l:y=x上,且線段AB的長為

∴設(shè)M(x,y),A(t,t),?B(t+1,t+1)?(t為參數(shù)),則

直線PA的方程為y-2=(x+2)(t≠-2),          ①

直線QB的方程為y-2=x(t≠-1).              ②

∵M(x,y)是直線PA、QB的交點,

∴x、y是由①②組成的方程組的解,由①②消去參數(shù)t,得x²-y²+2x-2y+8=0?③

當(dāng)t=-2時,PA的方程為x=-2,QB的方程為3x-y+2=0,此時的交點為M(-2,-4).

當(dāng)t=-1時,QB的方程為x=0,PA的方程為3x+y+4=0,此時的交點為M(0,-4).

經(jīng)驗證,點(-2,-4)和(0,-4)均滿足方程③.

故點M的軌跡方程為x²-y²+2x-2y+8=0.

啟示:由于長為的線段AB在直線l上移動,故只需借助參數(shù)表示出A、B的坐標,從而得直線PA、QB的方程,而M是這兩直線的交點,消去參數(shù)即得交點的軌跡方程.