Question

4．sin θ和cos θ為方程2x²-mx+1=0的兩根，求$\frac{sinθ}{1-\frac{1}{tanθ}}$+$\frac{cosθ}{1-tanθ}$．

Answer 1

分析 利用韋達(dá)定理可求得sinθ+cosθ=$\frac{m}{2}$，sinθ•cosθ=$\frac{1}{2}$，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式即可解得m，將所求的關(guān)系式化簡為sinθ+cosθ，即可求得答案．

解答 解：∵sinθ和cosθ為方程2x²-mx+1=0的兩根，
∴sinθ+cosθ=$\frac{m}{2}$，sinθ•cosθ=$\frac{1}{2}$，
∵（sinθ+cosθ）²=sin²θ+2sinθcosθ+cos²θ=1+2sinθcosθ，
∴$\frac{1}{4}$m²=1+2×$\frac{1}{2}$，解得：m=±2$\sqrt{2}$，
∴$\frac{sinθ}{1-\frac{1}{tanθ}}$+$\frac{cosθ}{1-tanθ}$=$\frac{sinθ}{\frac{sinθ-cosθ}{sinθ}}$+$\frac{cosθ}{\frac{cosθ-sinθ}{cosθ}}$=sinθ+cosθ=$±\sqrt{2}$．

點(diǎn)評 本題考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值，考查根與系數(shù)的關(guān)系，著重考查韋達(dá)定理的應(yīng)用與正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．