Question

4．△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，D是AB的中點(diǎn)，E，F(xiàn)分別是邊BC、AC上的動點(diǎn)，且EF=1，則$\overrightarrow{DE}$$•\overrightarrow{DF}$的最小值等于（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{5}}{4}$
• B． $\frac{15}{4}$
• C． $\frac{17}{4}$
• D． $\frac{\sqrt{17}}{4}$

Answer 1

分析 建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)E（x，0），求出$\overrightarrow{DE}，\overrightarrow{DF}$的坐標(biāo)，則$\overrightarrow{DE}•\overrightarrow{DF}$可表示為x的函數(shù)，利用函數(shù)的性質(zhì)得出最小值．

解答 解以三角形的直角邊為坐標(biāo)軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖：
則A（0，4），B（3，0），C（0，0），D（$\frac{3}{2}$，2）．設(shè)E（x，0），則F（0，$\sqrt{1-{x}^{2}}$）.0≤x≤1．
∴$\overrightarrow{DE}$=（x-$\frac{3}{2}$，-2），$\overrightarrow{DF}$=（-$\frac{3}{2}$，$\sqrt{1-{x}^{2}}-2$）．
∴$\overrightarrow{DE}•\overrightarrow{DF}$=$\frac{9}{4}$-$\frac{3}{2}x$+4-2$\sqrt{1-{x}^{2}}$=$\frac{25}{4}$-$\frac{3x}{2}$-2$\sqrt{1-{x}^{2}}$．
令f（x）=$\frac{25}{4}$-$\frac{3x}{2}$-2$\sqrt{1-{x}^{2}}$，則f′（x）=-$\frac{3}{2}$+$\frac{2x}{\sqrt{1-{x}^{2}}}$．
令f′（x）=0得x=$\frac{3}{5}$．
當(dāng)0≤x$＜\frac{3}{5}$時，f′（x）＜0，當(dāng)$\frac{3}{5}$＜x＜1時，f′（x）＞0．
∴當(dāng)x=$\frac{3}{5}$時，f（x）取得最小值f（$\frac{3}{5}$）=$\frac{15}{4}$．
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，建立坐標(biāo)系是解題關(guān)鍵，屬于中檔題．