Question

根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，證明函數(shù)f （x）=-x³+1在（-∞，+∞）上是減函數(shù)．

Answer 1

分析：利用原始的定義進(jìn)行證明，在（-∞，+∞）上任取x₁，x₂且x₁＜x₂，只要證f（x₂）＜f（x₁）就可以可，把x₁和x₂分別代入函數(shù)f （x）=-x³+1進(jìn)行證明．

解答：證明：證法一：在（-∞，+∞）上任取x₁，x₂且x₁＜x₂
則f（x₂）-f（x₁）=x₁³-x₂³=（x₁-x₂）（x₁²+x₁x₂+x₂²）
∵x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0．
當(dāng)x₁x₂＜0時，有x₁²+x₁x₂+x₂²=（x₁+x₂）²-x₁x₂＞0；
當(dāng)x₁x₂≥0時，有x₁²+x₁x₂+x₂²＞0；
∴f（x₂）-f（x₁）=（x₁-x₂）（x₁²+x₁x₂+x₂²）＜0．
即f（x₂）＜f（x₁）
所以，函數(shù)f（x）=-x₃+1在（-∞，+∞）上是減函數(shù)．

證法二：在（-∞，+∞）上任取x₁，x₂，且x₁＜x₂，
則f（x₂）-f（x₁）=x₁³-x₂³=（x₁-x₂）（x₁²+x₁x₂+x₂²）．
∵x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0．
∵x₁，x₂不同時為零，
∴x₁²+x₂²＞0．
又∵x₁²+x₂²＞

1

2

（x₁²+x₂²）≥|x₁x₂|≥-x₁x₂
∴x₁²+x₁x₂+x₂²＞0，
∴f（x₂）-f（x₁）=（x₁-x₂）（x₁²+x₁x₂+x₂²）＜0．
即f（x₂）＜f（x₁）．
所以，函數(shù)f（x）=-x³+1在（-∞，+∞）上是減函數(shù)．

點(diǎn)評：此題主要考查函數(shù)的單調(diào)性，解題的關(guān)鍵是利用原始定義進(jìn)行證明，是一道基礎(chǔ)題．