Question

3．已知函數(shù)f（x）=sin²x-$\sqrt{3}$sinxcosx+$\frac{1}{2}$，g（x）=mcos（x+$\frac{π}{3}$）-m+2．
（Ⅰ）若$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$，求函數(shù)y=f（x）的值域；
（Ⅱ）若對(duì)任意的${x_1}∈[{0，\frac{π}{2}}]$，x₂∈[0，π]，均有f（x₁）≥g（x₂），求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用降次公式和二倍角公式將f（x）化簡(jiǎn)，$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$上，求出內(nèi)層函數(shù)的范圍，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)可得f（x）的值域；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$f（x）的值域；值域求解x₂∈[0，π]，g（x₂）的最大值即可，求解即可，需要對(duì)m進(jìn)行討論哦．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=sin²x-$\sqrt{3}$sinxcosx+$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}-\frac{1}{2}$cos2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x$+\frac{1}{2}$=1-sin（2x+$\frac{π}{6}$）
∵$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$上，
∴2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]
∴$-\frac{1}{2}≤$sin（2x+$\frac{π}{6}$）≤1．
故得$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$時(shí)函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇0，$\frac{3}{2}$]；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$f（x）的最小值為0，
對(duì)任意的${x_1}∈[{0，\frac{π}{2}}]$，x₂∈[0，π]，均有f（x₁）≥g（x₂）
只需要0≥g（x）_max即可．
∵g（x）=mcos（x+$\frac{π}{3}$）-m+2．x∈[0，π]，
∴x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{4π}{3}$]
∴-1≤cos（x+$\frac{π}{3}$）≤$\frac{1}{2}$．
當(dāng)m≥0時(shí)，g（x）_max=$\frac{m}{2}-m+2$，
∴$\frac{m}{2}-m+2$≤0，
解得：m≥4．
當(dāng)m＜0時(shí)，g（x）_max=-m-m+2，
∴-2m+2≤0，
解得：m≥1．
∴無解．
綜合上述，可得m的取值范圍[4，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)能力以及有界性的運(yùn)用求出參數(shù)取值范圍的問題，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．