Question

1．已知不等式|x+2|+|x-2丨＜10的解集為A．
（1）求集合A；
（2）若?a，b∈A，x∈R₊，不等式a+b＞（x-4）（$\frac{1}{x}$-9）+m恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）化不等式|x+2|+|x-2丨＜10為3個不等式組，解不等式組可得；
（2）由題意可得-10＜a+b＜10，由基本不等式可得（x-4）（$\frac{1}{x}$-9）≤25，由恒成立可得m+25≤-10，解不等式可得．

解答 解：（1）不等式|x+2|+|x-2丨＜10等價于$\left\{\begin{array}{l}{x＜-2}\\{-（x+2）-（x-2）＜10}\end{array}\right.$，
或$\left\{\begin{array}{l}{-2≤x≤2}\\{（x+2）-（x-2）＜10}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x＞2}\\{（x+2）+（x-2）＜10}\end{array}\right.$，
解得-5＜x＜5，故可得集合A=（-5，5）；
（2）∵a，b∈A=（-5，5），x∈R₊，
∴-10＜a+b＜10，
∴（x-4）（$\frac{1}{x}$-9）=1-$\frac{4}{x}$-9x+36
=37-（$\frac{4}{x}$+9x）≤37-2$\sqrt{\frac{4}{x}•9x}$=25，
∵不等式a+b＞（x-4）（$\frac{1}{x}$-9）+m恒成立，
∴m+25≤-10，解得m≤-35

點評 本題考查基本不等式求最值，涉及恒成立問題和含絕對值不等式，屬中檔題．