Question

10．“十一黃金周”期間某市再次迎來了客流高峰，小李從該市的A地到B地有L₁、L₂兩條路線（如圖），L₁路線上有A₁、A₂、A₃三個路口，各路口遇到堵塞的概率均為$\frac{2}{3}$；L₂路線上有B₁、B₂兩個路口，各路口遇到堵塞的概率依次為$\frac{3}{4}$、$\frac{3}{5}$．
（1）若走L₁路線，求最多遇到1次堵塞的概率；
（2）若走L₂路線，路上遇到的堵塞次數(shù)為X，求隨機變量X的分布列與數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）設(shè)走l₁路線最多遇到1次堵塞為A事件，利用n次獨立重復(fù)試驗中事件A恰好發(fā)生k次的概率計算公式能求出走L₁路線，最多遇到1次堵塞的概率．
（2）依題意X的可能取值為0，1，2，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出隨機變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（1）設(shè)走l₁路線最多遇到1次堵塞為A事件，
則P（A）=${C}_{3}^{0}（\frac{1}{3}）^{3}$+${C}_{3}^{1}×\frac{2}{3}×（\frac{1}{3}）^{2}$=$\frac{7}{27}$，
∴走L₁路線，最多遇到1次堵塞的概率為$\frac{7}{27}$．
（2）依題意X的可能取值為0，1，2，
P（X=0）=$（1-\frac{3}{4}）（1-\frac{3}{5}）$=$\frac{1}{10}$，
P（X=1）=$\frac{3}{4}×（1-\frac{3}{5}）+（1-\frac{3}{4}）×\frac{3}{5}$=$\frac{9}{20}$，
P（X=2）=$\frac{3}{4}×\frac{3}{5}$=$\frac{9}{20}$，
∴隨機變量X的分布列為：

X	0	1	2
P	$\frac{1}{10}$	$\frac{9}{20}$	$\frac{9}{20}$

∴E（X）=$\frac{1}{10}×0+\frac{9}{20}×1+\frac{9}{20}×2$=$\frac{27}{20}$．

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量分布列、數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意n次獨立重復(fù)試驗中事件A恰好發(fā)生k次的概率計算公式的合理運用．