如圖，已知四棱錐S―ABCD的底面是邊長(zhǎng)為4的正方形，S在底面上的射影O落在正方形ABCD內(nèi)，且O到AB、AD的距離分別為2和1.

   （I）求證是定值；

   （II）已知P是SC的中點(diǎn)，且SO=3，問(wèn)在棱SA上是否存在一點(diǎn)Q，使得異面直線OP與BQ所成的角為90°？若存在，請(qǐng)給出證明，并求出AQ的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

 

解：法一：（I）以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)S所在直線為Oz軸，過(guò)O且平行于AD的直線為Ox軸.過(guò)O且平行于AB的直線為Oy軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系

    設(shè)S（0，0，z）（z>0，z∈R）

    則

   

    即為定值

   （II）由（I）建立的空間直角坐標(biāo)系可知

    A（2，－1，0），B（2，3，0）C（－2，3，0），S（0，0，3）

P（－1，）

設(shè)點(diǎn)Q（x，y，z），則存在λ使

法二：（I）證明：在△SDC內(nèi)，作SE⊥CD交CD于E，連結(jié)OE

∵SO⊥平面ABCD  ∴SO⊥CD

∴CD⊥平面SOE   ∴SO⊥OE

∴OE//AD  ∴DE=1

從而CE=3

即為定值

   （II）利用其它方法求解同樣可得分

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，已知四棱錐S-ABCD的底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，SA⊥平面ABCD，SA=2，E是側(cè)棱SC上的一點(diǎn)．
（1）求證：平面EBD⊥平面SAC；
（2）求四棱錐S-ABCD的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，已知四棱錐S-ABCD的底面是邊長(zhǎng)為4的正方形，S在底面上的射影O落在正方形ABCD內(nèi)，SO的長(zhǎng)為3，O到AB，AD的距離分別為2和1，P是SC的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：平面SOB⊥底面ABCD；
（Ⅱ）設(shè)Q是棱SA上的一點(diǎn)，若
AQ
=
3
4
AS
，求平面BPQ與底面ABCD所成的銳二面角余弦值的大�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，已知四棱錐S-A BCD是由直角梯形沿著CD折疊而成，其中SD=DA=AB=BC=l，AS∥BC，AB⊥AD，且二面角S-CD-A的大小為120°．
（Ⅰ）求證：平面ASD⊥平面ABCD；
（Ⅱ）設(shè)側(cè)棱SC和底面ABCD所成角為θ，求θ的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2008•湖北模擬）如圖，已知四棱錐S-ABCD中，△SAD是邊長(zhǎng)為a的正三角形，平面SAD⊥平面ABCD，四邊形ABCD為菱形，∠DAB=60°，P為AD的中點(diǎn)，Q為SB的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：PQ∥平面SCD；
（Ⅱ）求二面角B-PC-Q的大�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2010•江西模擬）（如圖）已知四棱錐S-ABCD的底面ABCD是菱形，將面SAB，SAD，ABCD 展開(kāi)成平面后的圖形恰好為一正三角形S'SC．
（1）求證：在四棱錐S-ABCD中AB⊥SD．
（2）若AC長(zhǎng)等于6，求異面直線AB與SC之間的距離．

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