Question

17．在平面直角坐標(biāo)系中，不等式組$\left\{\begin{array}{l}{x+y≤0}\\{x-y≤0}\\{{x}^{2}+{y}^{2}≤{r}^{2}}\end{array}\right.$（r為常數(shù)）表示的平面區(qū)域的面積為π，若x，y滿足上述約束條件，則z=$\frac{x+y+1}{x+3}$的最小值為（　�。�

• A． -1
• B． -$\frac{5\sqrt{2}+1}{7}$
• C． $\frac{1}{3}$
• D． -$\frac{7}{5}$

Answer 1

分析 由約束條件作出可行域，由z=$\frac{x+y+1}{x+3}$=1+$\frac{y-2}{x+3}$，而$\frac{y-2}{x+3}$的幾何意義為可行域內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)P（-3，2）連線的斜率．結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系求得答案．

解答 解：∵不等式組$\left\{\begin{array}{l}{x+y≤0}\\{x-y≤0}\\{{x}^{2}+{y}^{2}≤{r}^{2}}\end{array}\right.$（r為常數(shù)）表示的平面區(qū)域的面積為π，
∴圓x²+y²=r²的面積為4π，則r=2．
由約束條件作出可行域如圖，

z=$\frac{x+y+1}{x+3}$=1+$\frac{y-2}{x+3}$，
而$\frac{y-2}{x+3}$的幾何意義為可行域內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)P（-3，2）連線的斜率．
設(shè)過(guò)P的圓的切線的斜率為k，則切線方程為y-2=k（x+3），即kx-y+3k+2=0．
由$\frac{|3k+2|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}=2$，解得k=0或k=-$\frac{12}{5}$．
∴z=$\frac{x+y+1}{x+3}$的最小值為1-$\frac{12}{5}=-\frac{7}{5}$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法和數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．