Question

3．在△ABC中，角A，B，C所對邊分別為a，b，c，已知$\frac{sinA}{sinB+sinC}=1-\frac{a-b}{a-c}$．
（Ⅰ）若b=$\sqrt{3}$，當(dāng)△ABC周長取最大值時，求△ABC的面積；
（Ⅱ）設(shè)$\overrightarrow m=（{sinA，1}），\overrightarrow n=（{6cosB，cos2A}），求\overrightarrow m•\overrightarrow n$的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用正弦定理化簡已知可得：a²+c²-b²=ac，利用余弦定理可得cosB=$\frac{1}{2}$，又B∈（0，π），可求B的值，由正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡可得△ABC的周長l=a+b+c=2（sinA+sinB+sinC）=2$\sqrt{3}$sin（A+$\frac{π}{6}$）$+\sqrt{3}$，由0$＜A＜\frac{2π}{3}$，可得$\frac{π}{6}$＜A+$\frac{π}{6}$＜$\frac{5π}{6}$，當(dāng)A+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$時，即A=$\frac{π}{3}$時，△ABC周長l取最大值3$\sqrt{3}$，可得△ABC為等邊三角形，利用三角形面積公式即可得解．
（Ⅱ）利用平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用可得$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=-2（sinA-$\frac{3}{4}$）²+$\frac{17}{8}$，由范圍0$＜A＜\frac{2π}{3}$，可求0＜sinA≤1，利用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可解得
$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$的取值范圍．

解答 （本題滿分為12分）
解：（Ⅰ）∵1-$\frac{a-b}{a-c}$=$\frac{b-c}{a-c}$=$\frac{sinA}{sinB+sinC}$=$\frac{a}{a+c}$，化簡可得：a²+c²-b²=ac，則$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{ac}$=1，
∴cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$=$\frac{1}{2}$，
又∵B∈（0，π），
∴B=$\frac{π}{3}$…3分
∵由正弦定理可得：$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}=\frac{c}{sinC}=2$，
∴△ABC的周長l=a+b+c=2（sinA+sinB+sinC）=2sinA+$\sqrt{3}$+2sin（$\frac{2π}{3}$-A）
=3sinA+$\sqrt{3}$cosA+$\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$sin（A+$\frac{π}{6}$）$+\sqrt{3}$，…5分
∵0$＜A＜\frac{2π}{3}$，
∴$\frac{π}{6}$＜A+$\frac{π}{6}$＜$\frac{5π}{6}$，當(dāng)A+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$時，即A=$\frac{π}{3}$時，△ABC周長l取最大值3$\sqrt{3}$，由此可以得到△ABC為等邊三角形，
∴S_△ABC=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$…7分
（Ⅱ）∵$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=6sinAcosB+cos2A=3sinA+1-2sin²A=-2（sinA-$\frac{3}{4}$）²+$\frac{17}{8}$，…9分
∵0$＜A＜\frac{2π}{3}$，
∴0＜sinA≤1，
當(dāng)sinA=$\frac{3}{4}$時，$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$取得最大值$\frac{17}{8}$，…11分
∴$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$的取值范圍為（1，$\frac{17}{8}$]…12分

點評 本題主要考查了正弦定理，余弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)在解三角形中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，考查了計算能力，屬于中檔題．