Question

13．已知向量$\overrightarrow{m}$=（1，1），向量$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$的夾角為$\frac{3π}{4}$，且$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=-1．
（1）求向量$\overrightarrow{n}$；
（2）若向量$\overrightarrow{n}$與向量$\overrightarrow{q}$=（1，0）垂直，向量t$\overrightarrow{m}$+k$\overrightarrow{n}$與向量2$\overrightarrow{m}$-t²$\overrightarrow{n}$平行，試求$\frac{k+{t}^{2}}{t}$的最大值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)向量$\overrightarrow{n}$為（x，y），根據(jù)向量的數(shù)量積和向量的模的計(jì)算，構(gòu)造方程解得即可，
（2）根據(jù)向量的垂直得到向量$\overrightarrow{n}$，再根據(jù)向量的平行得到t³=-2k，代入利用二次函數(shù)求出最值．

解答 解：（1）設(shè)向量$\overrightarrow{n}$為（x，y），
∵向量$\overrightarrow{m}$=（1，1），且$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=-1，
∴x+y=-1，①
∵$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=|$\overrightarrow{m}$|•|$\overrightarrow{n}$|cos$\frac{3π}{4}$=-1，
∴$\sqrt{2}$×$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$×（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）=-1，
即x²+y²=1，②
由①②解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=-1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=0}\end{array}\right.$
∴向量$\overrightarrow{n}$=（0，-1）或（-1，0），
（2）由（1）可知向量$\overrightarrow{n}$=（0，-1）或（-1，0），向量$\overrightarrow{n}$與向量$\overrightarrow{q}$=（1，0）垂直，
∴$\overrightarrow{n}$=（0，-1），
∴t$\overrightarrow{m}$+k$\overrightarrow{n}$=（t，t-k），2$\overrightarrow{m}$-t²$\overrightarrow{n}$=（2，2+t²）
∵向量t$\overrightarrow{m}$+k$\overrightarrow{n}$與向量2$\overrightarrow{m}$-t²$\overrightarrow{n}$平行，
∴t（2+t²）=2t-2k，
即t³=-2k，
∴$\frac{k+{t}^{2}}{t}$=-$\frac{1}{2}$t²+t=-$\frac{1}{2}$（t-1）²+$\frac{1}{2}$，當(dāng)t=1時(shí)取最大值，最大值為$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了向量的數(shù)量積的運(yùn)算和向量的坐標(biāo)運(yùn)算以及二次函數(shù)的最值問(wèn)題，屬于中檔題．