Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓： 的離心率為，直線被橢圓截得的線段長為.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）過原點(diǎn)的直線與橢圓交于， 兩點(diǎn)（， 不是橢圓的頂點(diǎn)），點(diǎn)在橢圓上，且.直線與軸、軸分別交于兩點(diǎn).設(shè)直線的斜率分別為，證明存在常數(shù)使得，并求出的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】試題分析：

（Ⅰ）由離心率可得，由對稱性直線被橢圓截得弦長為可求得點(diǎn)坐標(biāo)為，代入橢圓方程可求得得橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）直線與橢圓相交，設(shè)， ，有，由直線垂直得直線的斜率為.為了簡便設(shè)直線的方程為，代入橢圓方程消元得的一元二次方程．可得，于是有，而，于是寫出直線方程，求出點(diǎn)坐標(biāo)，可得，比較可得．

試題解析：

（Ⅰ）∵，∴，，∴.①

設(shè)直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，不妨設(shè)點(diǎn)為第一象限內(nèi)的交點(diǎn).∴，

∴代入橢圓方程可得.②

由①②知，，所以橢圓的方程為：.

（Ⅱ）設(shè)，則，

直線的斜率為，又，

故直線的斜率為.設(shè)直線的方程為，

由題知，聯(lián)立，得.

∴，，由題意知，

∴，直線的方程為.

令，得，即，可得，∴，即.

因此存在常數(shù)使得結(jié)論成立.