已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c在x=-
13
與x=1
時(shí)都取得極值
(1)求a,b的值及f(x)的單調(diào)區(qū)間
(2)若對(duì)x∈[-1,2],f(x)<c2恒成立,求c的取值范圍.
分析:(1)函數(shù)在極值點(diǎn)處,其導(dǎo)數(shù)的值為零.因此可以列出
f/(-
1
3
)=0
f/(1)=0
,解方程組可得a,b的值,得到表達(dá)式,最后根據(jù)所得表達(dá)式,討論導(dǎo)數(shù)的符號(hào),可得函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)在(1)的條件下,求出函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[-1,2]上的最大值,這個(gè)最大值應(yīng)該小于c2,最后解不等式,可得c的取值范圍.
解答:解:(1)求導(dǎo)數(shù),得f′(x)=3x2+2ax+b
在x=-
1
3
與x=1時(shí),函數(shù)取得極值

f/(-
1
3
)=
1
3
-
2a
3
+b=0 
f/(1)=3+2a+b=0
a=-1
b=-1

∴f(x)=x3-x2-x+c,其導(dǎo)數(shù)為f′(x)=3x2-2x-1
當(dāng)x<-
1
3
或x>1時(shí),f′(x)>0,函數(shù)為增函數(shù);
而當(dāng)-
1
3
<x<1時(shí),f′(x)<0,函數(shù)為減函數(shù)
∴函數(shù)f(x)的增區(qū)間為(-∞,-
1
3
)和(1,+∞);減區(qū)間為(-
1
3
,1)
(2)∵對(duì)x∈[-1,2],f(x)<c2恒成立,
∴f(x)在區(qū)間[-1,2]上的最大值小于右邊c2
根據(jù)(1)的單調(diào)性,可得f(x)的最大值是f(-
1
3
)、f(2)中的較大值
∵f(-
1
3
)=
5
27
+c<f(2)=2+c
∴f(x)的最大值是2+c
因此2+c<c2恒成立,解之得c<-1或c>2
∴c的取值范圍為:(-∞,-1)∪(2,+∞).
點(diǎn)評(píng):本題考查了導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用,函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件等等知識(shí)點(diǎn),屬于中檔題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=x-2m2+m+3(m∈Z)為偶函數(shù),且f(3)<f(5).
(1)求m的值,并確定f(x)的解析式;
(2)若g(x)=loga[f(x)-ax](a>0且a≠1),是否存在實(shí)數(shù)a,使g(x)在區(qū)間[2,3]上的最大值為2,若存在,請(qǐng)求出a的值,若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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(2011•上海模擬)已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當(dāng)a=1,b=2時(shí),求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對(duì)任意0<a<b恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(3)設(shè)k、c>0,當(dāng)a=k2,b=(k+c)2時(shí),記f(x)=f1(x);當(dāng)a=(k+c)2,b=(k+2c)2時(shí),記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:浙江省東陽(yáng)中學(xué)高三10月階段性考試數(shù)學(xué)理科試題 題型:022

已知函數(shù)f(x)的圖像在[a,b]上連續(xù)不斷,f1(x)=min{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a,b]),f2(x)=max{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a,b]),其中,min{f(x)|x∈D}表示函數(shù)f(x)在D上的最小值,max{f(x)|x∈D}表示函數(shù)f(x)在D上的最大值,若存在最小正整數(shù)k,使得f2(x)-f1(x)≤k(x-a)對(duì)任意的x∈[a,b]成立,則稱(chēng)函數(shù)f(x)為[a,b]上的“k階收縮函數(shù)”.已知函數(shù)f(x)=x2,x∈[-1,4]為[-1,4]上的“k階收縮函數(shù)”,則k的值是_________.

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已知函數(shù)f(x)=(
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-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當(dāng)a=1,b=2時(shí),求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對(duì)任意0<a<b恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(3)設(shè)k、c>0,當(dāng)a=k2,b=(k+c)2時(shí),記f(x)=f1(x);當(dāng)a=(k+c)2,b=(k+2c)2時(shí),記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
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B.f(x)是偶函數(shù),g(x)是偶函數(shù),則f(x)+g(x)是偶函數(shù)
C.f(x)是奇函數(shù),g(x)是偶函數(shù),則f(x)+g(x)一定是奇函數(shù)或偶函數(shù)
D.f(x)是奇函數(shù),g(x)是偶函數(shù),則f(x)+g(x)可以是奇函數(shù)或偶函數(shù)

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