Question

正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中O為正方形ABCD的中心，M為BB₁的中點，求證：
（1）D₁O∥平面A₁BC₁；
（2）D₁O⊥平面MAC．

Answer 1

證明：（1）連接BD，B₁D₁分別交AC，A₁C₁于O，O₁
在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，對角面BB₁D₁D為矩形
∵O，O₁分別是BD，B₁D₁的中點∴∴四邊形BO₁D₁O為平行四邊形∴BO₁∥D₁O
∵D₁O?平面A₁BC₁，BO₁?平面A₁BC₁∴D₁O∥平面A₁BC₁
（2）連接MO，設正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為a，
在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，對角面BB₁D₁D為矩形且
∵O，M分別是BD，BB₁的中點∴
∴
由于Rt△MBO≌Rt△ODD₁∴∠BOM=∠DD₁O
∵在Rt△ODD₁中，∠DD₁O+∠D₁OD=90°
∴∠BOM+∠D₁OD=90°，即D₁O⊥MO在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中
∵DD₁⊥平面ABCD
∴DD₁⊥AC又∵AC⊥BD，DD₁∩BD=D∴AC⊥平面BB₁D₁D
∵D₁O?平面BB₁D₁D∴AC⊥D₁O又AC∩MO=O
∴D₁O⊥平面MAC．
分析：（1）連接BD，B₁D₁分別交AC，A₁C₁于O，證明，BO₁∥D₁O，推出D₁O∥平面A₁BC₁
（2）連接MO，設正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為a，證明AC⊥平面BB₁D₁D，然后證明D₁O⊥平面MAC．
點評：本題是中檔題，考查直線與平面的垂直，直線與平面的平行，能夠正確利用直線與平面平行的判斷定理，直線與平面垂直的判斷定理，是解題的關鍵．