若曲線C:xy=1,過C上一點An(xn,yn)作一斜率為kn=-
1
xn+2
的直線交曲線C于另一點An+1(xn+1,yn+1),點A1,A2,…,An,…的橫坐標構(gòu)成數(shù)列{xn},其中x1=
11
7

(1)求xn與xn+1的關(guān)系式;
(2)若f(x)=
1
x-2
,an=f(xn),求{an}的通項公式;
(3)求證:(-1)x1+(-1)2x2+…+(-1)nxn<1(n∈N*).
分析:(1)由題設(shè)條件知kn=
yn+1-yn
xn+1-xn
=
1
xn+1
-
1
xn
xn+1-xn
=-
1
xn+1xn
,由此可知xn+1xn=xn+2.
(2)由題意知an+1+
1
3
=-2  (an+
1
3
)
,由此可知an+
1
3
=(-2)n
,所以an=(-2)n-
1
3

(3)由題意知(-1)nxn=2•(-1)n+
1
2n-
1
3
(-1)n
,由此入手能夠推導出(-1)x1+(-1)2x2++(-1)nxn<1.
解答:解:(1)kn=
yn+1-yn
xn+1-xn
=
1
xn+1
-
1
xn
xn+1-xn
=-
1
xn+1xn

∴xn+1xn=xn+2(4分)
(2)an=
1
xn-2
 ,則 an+1=
1
xn+1-2
=
1
xn+2
xn
-2
=
xn
2-xn
=-1-2an

an+1+
1
3
=-2  (an+
1
3
)
(8分)
a1+
1
3
=-2 ≠0
{an+
1
3
}
為等比數(shù)列
an+
1
3
=(-2)n

an=(-2)n-
1
3
(10分)
(3)xn=2+
1
(-2)n-
1
3
,∴(-1)nxn=2•(-1)n+
1
2n-
1
3
(-1)n

當n為奇數(shù)時,(-1)nxn+(-1)n+1xn+1
=
1
2n+
1
3
+
1
2n+1-
1
3

=
2n+2n+1
(2n+
1
3
)(2n+1-
1
3
)
2n+2n+1
2n2n+1
=
1
2n
+
1
2n+1
(12分)
當n為偶數(shù)時,(-1)x1+(-1)2x2++(-1)nxn
1
2
+
1
22
++
1
2n-1
+
1
2n
1
2
1-
1
2
=1
(13分)
當n為奇數(shù)時,(-1)x1+(-1)2x2++(-1)nxn
1
2
+
1
22
++
1
2n-2
+
1
2n-1
-2+
1
2n+
1
3

=
1
2n+
1
3
-1<1

綜上,(-1)x1+(-1)2x2++(-1)nxn<1.(14分)
點評:本題考查數(shù)列性質(zhì)的綜合運用,解題時要認真審題,仔細解答.
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知曲線C:xy=1,過C上一點An(xn,yn)作一斜率kn=-
1
xn+2
的直線交曲線C于另一點An+1(xn+1,yn+1).
(1)求xn與xn+1之間的關(guān)系式;
(2)若x1=
11
7
,求證:數(shù)列
1
xn-2
+
1
3
是等比數(shù)列;
(3)求證:(-1)x1+(-1)2x2+(-1)3x3+…(-1)nxn<1(n∈N*

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

若曲線C:xy=1,過C上一點An(xn,yn)作一斜率為數(shù)學公式的直線交曲線C于另一點An+1(xn+1,yn+1),點A1,A2,…,An,…的橫坐標構(gòu)成數(shù)列{xn},其中數(shù)學公式
(1)求xn與xn+1的關(guān)系式;
(2)若數(shù)學公式,an=f(xn),求{an}的通項公式;
(3)求證:(-1)x1+(-1)2x2+…+(-1)nxn<1(n∈N*).

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科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

若曲線C:xy=1,過C上一點An(xn,yn)作一斜率為kn=-
1
xn+2
的直線交曲線C于另一點An+1(xn+1,yn+1),點A1,A2,…,An,…的橫坐標構(gòu)成數(shù)列{xn},其中x1=
11
7

(1)求xn與xn+1的關(guān)系式;
(2)若f(x)=
1
x-2
,an=f(xn),求{an}的通項公式;
(3)求證:(-1)x1+(-1)2x2+…+(-1)nxn<1(n∈N*).

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科目:高中數(shù)學 來源:2010年陜西省西安市西工大附中高考數(shù)學六模試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

若曲線C:xy=1,過C上一點An(xn,yn)作一斜率為的直線交曲線C于另一點An+1(xn+1,yn+1),點A1,A2,…,An,…的橫坐標構(gòu)成數(shù)列{xn},其中
(1)求xn與xn+1的關(guān)系式;
(2)若,an=f(xn),求{an}的通項公式;
(3)求證:(-1)x1+(-1)2x2+…+(-1)nxn<1(n∈N*).

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