Question

若曲線C：xy=1，過C上一點A_n（x_n，y_n）作一斜率為的直線交曲線C于另一點A_n+1（x_n+1，y_n+1），點A₁，A₂，…，A_n，…的橫坐標構成數列{x_n}，其中．
（1）求x_n與x_n+1的關系式；
（2）若，a_n=f（x_n），求{a_n}的通項公式；
（3）求證：（-1）x₁+（-1）²x₂+…+（-1）ⁿx_n＜1（n∈N^*）．

Answer 1

解：（1）
∴x_n+1x_n=x_n+2（4分）
（2）
∴（8分）
又∴為等比數列
∴
∴（10分）
（3），∴
當n為奇數時，（-1）ⁿx_n+（-1）ⁿ⁺¹x_n+1
=
=（12分）
當n為偶數時，（-1）x₁+（-1）²x₂++（-1）ⁿx_n
（13分）
當n為奇數時，（-1）x₁+（-1）²x₂++（-1）ⁿx_n

=
綜上，（-1）x₁+（-1）²x₂++（-1）ⁿx_n＜1．（14分）
分析：（1）由題設條件知，由此可知x_n+1x_n=x_n+2．
（2）由題意知，由此可知，所以．
（3）由題意知，由此入手能夠推導出（-1）x₁+（-1）²x₂++（-1）ⁿx_n＜1．
點評：本題考查數列性質的綜合運用，解題時要認真審題，仔細解答．