Question

9．設(shè)函數(shù)y=f（x）是最小正周期為2的偶函數(shù)，它在區(qū)間[0，1]上的圖象為如圖所示的線段AB，則方程[f（x）]²=x的最大實數(shù)根的值為$\frac{11-\sqrt{21}}{2}$．

Answer 1

分析 根據(jù)條件求出函數(shù)f（x）的解析式，利用函數(shù)與方程的關(guān)系進行轉(zhuǎn)化求解即可．

解答 解：由圖象知，直線方程設(shè)y=kx+b，則$\left\{\begin{array}{l}{0+b=1}\\{k+b=2}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{b=1}\\{k=1}\end{array}\right.$，
則AB的方程為y=x+1，0≤x≤1，
∵函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，
∴當(dāng)-1≤x≤0時，0≤-x≤1，
則f（x）=f（-x）=-x+1，-1≤x≤0
當(dāng)x≥0時，由[f（x）]²=x得f（x）=$\sqrt{x}$，
∵函數(shù)y=f（x）是最小正周期為2的偶函數(shù)，
∴作出函數(shù)f（x）和g（x）=$\sqrt{x}$的圖象如圖
由圖象知f（5）=f（3）=f（1）=2，
g（3）=$\sqrt{3}$＜2，g（5）=$\sqrt{5}$＞2，
則當(dāng)3≤x≤4時，方程f（x）=$\sqrt{x}$取得最大根，
當(dāng)3≤x≤4時，-1≤x-4≤0，
則f（x）=f（x-4）=-（x-4）+1=-x+5，
由f（x）=$\sqrt{x}$得-x+5=$\sqrt{x}$，
平方得x²-10x+25=x，
即x²-11x+25=0，
得x=$\frac{11+\sqrt{1{1}^{2}-4×25}}{2}$=$\frac{11+\sqrt{21}}{2}$（舍）或x=$\frac{11-\sqrt{1{1}^{2}-4×25}}{2}$=$\frac{11-\sqrt{21}}{2}$
故答案為：$\frac{11-\sqrt{21}}{2}$

點評 本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，根據(jù)條件求出函數(shù)的解析式，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．