Question

一元二次方程mx²+（2m-3）x+（m-2）=0的兩個實數根為tanα和tanβ．
（1）求實數m的取值范圍；
（2）求tan（α+β）的取值范圍及其最小值．

Answer 1

分析：（1）利用二次方程有兩個不等根，令判別式大于0，二次項系數非0，解不等式求出m的范圍．
（2）利用韋達定理求出tanα+tanβ，tanαtanβ，利用兩角和的正切公式求出tan（α+β）是關于m的一次函數，求出tan（α+β）的取值范圍及其最小值．

解答：解：（1）由方程有實根，得

△=(2m-3)2-4m(m-2)≥0  m≠0

，（2分）
所以m的取值范圍為m≤

9

4

且m≠0；（2分）
（2）由韋達定理tanα+tanβ=

3-2m

m

，  tanαtanβ=

m-2

m

，（2分）
代入和角公式，得tan(α+β)=

tanα+tanβ

1-tanαtanβ

=

3-2m

2

=

3

2

-m≥

3

2

-

9

4

=-

3

4

，（4分）
所以tan（α+β）的取值范圍為[-

3

4

， 

3

2

)∪(

3

2

， +∞)，最小值為-

3

4

．（2分）

點評：判斷一元二次方程的根的個數的方法是利用判別式的符號；考查了一元二次方程的根與系數的關系即韋達定理．