Question

已知函數(shù)f（x）=|x²+x-2|，x∈R．若方程f（x）-a|x-2|=0恰有4個(gè)互異的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷

專題：計(jì)算題,數(shù)形結(jié)合,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由y=f（x）-a|x-2|=0得f（x）=a|x-2|，顯然x=2不是方程的根，則a=|

x2+x-2

x-2

|，令x-2=t，則a=|t+

4

t

+5|有4個(gè)不相等的實(shí)根，畫(huà)出y=|t+

4

t

+5|的圖象，利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論．

解答： 解：方程f（x）-a|x-2|=0，
即為f（x）=a|x-2|，
即有|x²+x-2|=a|x-2|，
顯然x=2不是方程的根，
則a=|

x2+x-2

x-2

|，
令x-2=t，則a=|t+

4

t

+5|有4個(gè)不相等的實(shí)根，畫(huà)出y=|t+

4

t

+5|（t＜0）的圖象，如右圖：
在-4＜t＜-1時(shí)，t+

4

t

+5≤-2

t• 4 t

+5=1．
在x＞2時(shí)，t+

4

t

+5＞9，
則要使直線y=a和y=|t+

4

t

+5|的圖象有四個(gè)交點(diǎn)，則a的范圍是（0，1）∪（9，+∞），
故答案為（0，1）∪（9，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．