Question

已知函數(shù)f（x）=x³-3ax-1，a≠0
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若f（x）在x=-1處取得極值，直線y=m與y=f（x）的圖象有三個不同的交點，求m的取值范圍．    
（Ⅲ）若a＞0，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，1]上的最小值g（a）．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：綜合題,導數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）先求f′（x），依據(jù)導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系解不等式即可，要分a＜0，a＞0兩種情況討論．
（Ⅱ）先根據(jù)極值點求出a，然后利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出極值以及端點的函數(shù)值，觀察可知m的范圍．
（Ⅲ）由導數(shù)求出函數(shù)在區(qū)間（0，1）上的極值，和端點值比較后得函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，1]上的最小值．

解答： 解：（Ⅰ）f′（x）=3x²-3a，
①當a＜0時，f′（x）＞0，f（x）在R上單調(diào)遞增；
②當a＞0時，由f′（x）＞0即3x²-3a＞0，解得x＜-

a

或x＞

a

，
由f′（x）＜0得-

a

＜x＜

a

，
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，-

a

）和（

a

，+∞）；f（x）的單調(diào)減區(qū)間是（-

a

，

a

）．
（Ⅱ）因為f（x）在x=-1處取得極大值，
所以f′（-1）=3×（-1）²-3a=0，∴a=1．
所以f（x）=x³-3x-1，f′（x）=3x²-3，
由f′（x）=0解得x₁=-1，x₂=1．
由（1）中f（x）的單調(diào)性可知，f（x）在x=-1處取得極大值f（-1）=1，
在x=1處取得極小值f（1）=-3．
因為直線y=m與函數(shù)y=f（x）的圖象有三個不同的交點，
結(jié)合f（x）的單調(diào)性可知，m的取值范圍是（-3，1）；
（Ⅲ）x∈[0，1]，f'（x）=3x²-3a，
令f'（x）=0，則x=±

a

．
①當0＜a＜1時，在區(qū)間[0，

a

）上，f'（x）＜0，在區(qū)間（

a

，1]上，f'（x）＞0，
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，

a

）上單調(diào)遞減，在區(qū)間（

a

，1]上單調(diào)遞增，且x=

a

是[0，1]上唯一極值點，
∴f（x）_min=f（

a

）=-2a

a

-1；
②當a≥1時，在區(qū)間[0，1]上，f'（x）≤0，
∴f（x）在區(qū)間[0，1]上單調(diào)遞減，∴函數(shù)f（x）_min=f（1）=-3a．
綜上所述，g（a）=

-2a a -1，0＜a＜1 -3a，a≥1

．

點評：本題主要考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的極值，以及求最值，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．