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【題目】已知函數是函數的反函數，函數的圖像關于直線對稱，記.

（1）求函數的解析式和定義域﹔

（2）在的圖像上是否存在這樣兩個不同點A，B，使直線AB恰好與y軸垂直？若存在，求A，B的坐標；若不存在，說明理由．

【答案】（1），的定義域為；（2）不存在，兩點，使與軸垂直．

【解析】

（1）先求出函數的反函數，即求出的解析式，然后求出 的定義域；（2）先求出函數的解析式，再設的圖象上不同的兩點，，，，且，推出，得為上的遞減函數，故不存在，兩點，使與軸垂直．

（1）由得，，，

因為函數的值域為，所以函數的定義域為.

（2），，依題意得，，，

，定義域為，

設的圖象上不同的兩點，，，，且，

則

，

，則，，，，

，，

，

故在上單調遞減，

故不存在，兩點，使與軸垂直．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知拋物線的焦點F,C上一點到焦點的距離為5.

（1）求C的方程;

（2）過F作直線l,交C于A,B兩點,若直線AB中點的縱坐標為,求直線l的方程.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，半徑為1的半圓O與等邊三角形ABC夾在兩平行線l1 ， l2之間，l∥l1 ， l與半圓相交于F，G兩點，與三角形ABC兩邊相交于E，D兩點．設弧 的長為x（0＜x＜π），y=EB+BC+CD，若l從l1平行移動到l2 ， 則函數y=f（x）的圖象大致是（ ）

A.
B.
C.
D.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】執(zhí)行下面的程序框圖，如果輸入的，則輸出的（ ）

A. B. C. D.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知動點到定點和的距離之和為.

(1)求動點軌跡的方程；

(2)設，過點作直線，交橢圓于不同于的兩點，直線， 的斜率分別為， ，求的值.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知點列An（an ， bn）（n∈N*）均為函數y=ax（a＞0，a≠1）的圖象上，點列Bn（n，0）滿足|AnBn|=|AnBn+1|，若數列{bn}中任意連續(xù)三項能構成三角形的三邊，則a的取值范圍為（ ）
A.（0， ）∪（ ，+∞）
B.（ ，1）∪（1， ）
C.（0， ）∪（ ，+∞）
D.（ ，1）∪（1， ）

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數 ，其中a∈R．
（1）根據a的不同取值，討論f（x）的奇偶性，并說明理由；
（2）已知a＞0，函數f（x）的反函數為f﹣1（x），若函數y=f（x）+f﹣1（x）在區(qū)間[1，2]上的最小值為1+log23，求函數f（x）在區(qū)間[1，2]上的最大值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數f(x)滿足f(x＋y)＝f(x)·f(y)，且f(1)＝.

(1)當n∈N＋，求f(n)的表達式；

(2)設an＝nf(n)，n∈N＋，求證：a1＋a2＋…＋an<2.

【答案】（1）（2）見解析

【解析】

（1）利用f（x+y）=f（x）f（y）（x，y∈R）通過令x=n，y=1，說明{f（n）}是以f(1)＝為首項，公比為的等比數列求出；（2）利用（1）求出an=nf（n）的表達式，利用錯位相減法求出數列的前n項和，即可說明不等式成立．

(1)解：f(n)＝f[(n－1)＋1]

＝f(n－1)·f(1)＝f(n－1)．

∴當n≥2時，＝.

又f(1)＝，

∴數列{f(n)}是首項為，公比為的等比數列，

∴f(n)＝f(1)·()n－1＝()n.

(2)證明：由(1)可知，

an＝n·()n＝n·，

設Sn＝a1＋a2＋…＋an，

則Sn＝＋2×＋3×＋…＋(n－1)·＋n·，①

∴Sn＝＋2×＋…＋(n－2)·＋(n－1)·＋n·.②

①－②得，

Sn＝＋＋＋…＋－n·

＝－＝1－－，

∴Sn＝2－－<2.

即a1＋a2＋…＋an<2.

【點睛】

本題考查數列與函數的關系，數列通項公式的求法和的求法，考查不等式的證明，裂項法與錯位相減法的應用，數列通項的求法中有常見的已知和的關系，求表達式，一般是寫出做差得通項，但是這種方法需要檢驗n=1時通項公式是否適用；數列求和常用法有：錯位相減，裂項求和，分組求和等.

【題型】解答題
【結束】
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【題目】設數列{an}的前n項和為Sn.已知a1＝a (a≠3)，an＋1＝Sn＋3n，n∈N＋.

(1)設bn＝Sn－3n，求數列{bn}的通項公式；

(2)若an＋1≥an，n∈N＋，求a的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知數列的前項和為，點在直線上；數列是等差數列，且，它的前9項和為153.

（1）求數列的通項公式；

（2）設，求證：數列的前項和.

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