Question

若數(shù)列{a_n}前n項(xiàng)和可表示為S_n=2ⁿ+a，則{a_n}是否可能成為等比數(shù)列？若可能，求出a值；若不可能，說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：首先利用前n項(xiàng)和Sn=2n+a整理出an=2n+a-2n-1-a=2n-1，進(jìn)一步利用特殊項(xiàng)求出a的值，最后利用分類討論說明結(jié)論：當(dāng)a=-1時(shí)，數(shù)列{a_n}成等比數(shù)列，首項(xiàng)為1，公比為2，當(dāng)a≠-1時(shí)，{a_n}不是等比數(shù)列．

解答： 解：因{a_n}的前n項(xiàng)和Sn=2n+a，故a₁=S₁=2+a，a_n=S_n-S_n-1（n≥2），
an=2n+a-2n-1-a=2n-1（n≥2），
要使a₁適合n≥2時(shí)的通項(xiàng)公式，則必有：2+a=2°則：a=-1，
此時(shí)an=2n-1(n∈N+)，
q=

an+1

an

=

2n

2n-1

=2，
故當(dāng)a=-1時(shí)，數(shù)列{a_n}成等比數(shù)列，首項(xiàng)為1，公比為2，當(dāng)a≠-1時(shí)，{a_n}不是等比數(shù)列；
故答案為：當(dāng)a=-1時(shí)，數(shù)列{a_n}成等比數(shù)列，首項(xiàng)為1，公比為2，
當(dāng)a≠-1時(shí)，{a_n}不是等比數(shù)列．

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)：求數(shù)列的方法：前n項(xiàng)和法，及相關(guān)的分類討論問題．