Question

一條斜率為1的直線l與離心率e=的橢圓C：+=1（a＞b＞0）交于P、Q兩點，直線l與y軸交于點R，且•=-3，=3，求直線l和橢圓C的方程．

Answer 1

解：∵e=，∴=，a²=2b²，則橢圓方程為，
設(shè)l方程為：y=x+m，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
聯(lián)立，去y得3x²+4mx+2m²-2b²=0，
故有△=16m²-4×3（2m²-2b²）=8（-m²+3b²）＞0
∴3b²＞m²（*）
x₁+x₂=-m（1）
x₁x₂=（m²-b²）（2）
又•=-3得x₁x₂+y₁y₂=-3，
而y₁y₂=（x₁+m）（x₂+m）=x₁x₂+m（x₁+x₂）+m²，
所以2x₁x₂+m（x₁+x₂）+m²=-3，
故（m²-b²）-m²+m²=-3，∴3m²-4b²=-9（3）
又R（0，m），=3，（-x₁，m-y₁）=3（x₂，y₂-m）
從而-x₁=3x₂（4）
由（1）（2）（4）得3m²=b²（5）
由（3）（5）解得b²=3，m=±1適合（*），
∴所求直線l方程為y=x+1或y=x-1；橢圓C的方程為=1．
分析：由e=，知=，a²=2b²，則橢圓方程為，設(shè)l方程為：y=x+m，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
聯(lián)立，得3x²+4mx+2m²-2b²=0，故有△=16m²-4×3（2m²-2b²）=8（-m²+3b²）＞0．由此入手能求出直線l方程和橢圓C的方程．
點評：本題考查直線和橢圓的位置關(guān)系的綜合運用，綜合性強(qiáng)，難度大，是高考的重點．解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化．