Question

5．已知點(diǎn)A（4，0），拋物線C：y²=2px（0＜p＜4）的準(zhǔn)線為l，點(diǎn)P在C上，作PH⊥l于H，且|PH|=|PA|，∠APH=120°，則p=$\frac{8}{5}$．

Answer 1

分析 由拋物線的定義可知：丨PH丨=x₁+$\frac{p}{2}$，根據(jù)三角形的性質(zhì)，即可求得P點(diǎn)坐標(biāo)，代入拋物線方程，即可求得p的值．

解答 解：設(shè)P（x₁，y₁），故P做PD⊥OA，
則由|PH|=|PA|，∠APH=120°，則∠APD=30°，
由拋物線的定義可知：丨PH丨=x₁+$\frac{p}{2}$，
∴|PA|=x₁+$\frac{p}{2}$，丨AD丨=4-x₁，
sin∠APD=$\frac{丨AD丨}{丨AP丨}$，則x₁=$\frac{8}{3}$-$\frac{p}{6}$，
則丨PD丨=丨AP丨cos∠APD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（$\frac{8}{3}$+$\frac{p}{3}$），
則P（$\frac{8}{3}$-$\frac{p}{6}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$（$\frac{8}{3}$+$\frac{p}{3}$）），將P代入拋物線方程，
整理得：5p²-48p+64=0，解得：p=$\frac{8}{5}$，或p=8（舍去），
∴p的值$\frac{8}{5}$，
故答案為：$\frac{8}{5}$．

點(diǎn)評 本題考查拋物線的定義及簡單幾何性質(zhì)，三角形的性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．