Question

2．下列結(jié)論中．正確的個(gè)數(shù)是3
①若$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$共面，則存在實(shí)數(shù)x，y，使$\overrightarrow{a}$=x$\overrightarrow$+y$\overrightarrow{c}$
②若$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$不共面，則不存在實(shí)數(shù)x，y，使$\overrightarrow{a}$=x$\overrightarrow$+y$\overrightarrow{c}$
③若$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$共面，$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$不共線，則存在實(shí)數(shù)x，y，使$\overrightarrow{a}$=x$\overrightarrow$+y$\overrightarrow{c}$
④若$\overrightarrow{a}$=x$\overrightarrow$+y$\overrightarrow{c}$則a，$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$共面．

Answer 1

分析 ①舉例說明$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$共線，且$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$、$\overrightarrow{c}$不共線時(shí)，命題不成立；
②根據(jù)空間向量的共面定理以及逆否命題與原命題的真假性相同，即可判斷命題正確；
③舉例說明$\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow{0}$與$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$共面，命題成立；
④根據(jù)空間向量的共面定理，得出命題正確．

解答 解：對(duì)于①，向量$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$共線，且$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$、$\overrightarrow{c}$不共線時(shí)，不存在實(shí)數(shù)x，y，使$\overrightarrow{a}$=x$\overrightarrow$+y$\overrightarrow{c}$，∴①錯(cuò)誤；
對(duì)于②，根據(jù)空間向量的共面定理，結(jié)合逆否命題與原命題的真假性，得：
$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$不共面時(shí)，不存在實(shí)數(shù)x，y，使$\overrightarrow{a}$=x$\overrightarrow$+y$\overrightarrow{c}$，∴②正確；
對(duì)于③，若$\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow{0}$時(shí)，與$\overrightarrow$、$\overrightarrow{c}$共面，且$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$不共線，則存在實(shí)數(shù)x=y=0，使$\overrightarrow{a}$=0•$\overrightarrow$+0•$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{0}$，∴③正確；
對(duì)于④，根據(jù)空間向量的共面定理得，當(dāng)$\overrightarrow{a}$=x$\overrightarrow$+y$\overrightarrow{c}$時(shí)，$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$共面，∴④正確．
綜上，正確的命題是②③④．
故答案為：3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了空間向量的基本概念問題，解題時(shí)應(yīng)理解空間向量的基本定理，是基礎(chǔ)題目．