已知橢圓Γ：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
2
3
，點P (
3
5
5
，-2)在此橢圓上，經過橢圓的左焦點F，斜率為K的直線與橢圓交于A，B兩點，O為坐標原點．
（Ⅰ）求橢圓Γ的標準方程；
（Ⅱ）當K=1時，求S△AOB的值．
分析：（Ⅰ）利用離心率為
2
3
，點P (
3
5
5
，-2)在此橢圓上，建立方程組，求出幾何量，即可求橢圓Γ的標準方程；
（Ⅱ）設出直線方程，代入橢圓方程，利用韋達定理，求出弦長，求出點到直線的距離，即可求S△AOB的值．
解答：解：（Ⅰ）由題意，
c
a
=
2
3
3
5
a2
+
4
b2
=1
a2=b2+c2
，所以a=3，b=
5
，所以橢圓Γ的方程為
x2
9
+
y2
5
=1；
（Ⅱ）∵K=1，F(xiàn)（-2，0），∴設直線方程為y=x+2，A（x1，y1），B（x2，y2）
聯(lián)立方程組
y=x+2
x2
9
+
y2
5
=1
，整理得14x2+36x-9=0，x1+x2=-
18
7
，x1x2=-
9
14
，
∴|AB|=
2
|x1-x2|=
2
•
(x1+x2)2-4x1x2
=
30
7
，
設O點到直線AB的距離為d，則d=
|0-0+2|
2
=
2
．
∴S△AOB=
1
2
d•|AB|=
1
2
×
2
×
30
7
=
15
2
7
．
點評：本題考查橢圓的標準方程，考查橢圓的幾何性質，考查三角形面積的計算，考查學生的計算能力，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右焦點分別為F1（-1，0）、F2（1，0），P為橢圓C上任意一點，且cos∠F1PF2的最小值為
1
3
．
（1）求橢圓C的方程；
（2）動圓x2+y2=t2（
2
＜t＜
3
）與橢圓C相交于A、B、C、D四點，當t為何值時，矩形ABCD的面積取得最大值？并求出其最大面積．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1，(a＞b＞0)，直線（m+3）x+（1-2m）y-m-3=0（m∈R）恒過的定點F為橢圓的一個焦點，且橢圓上的點到焦點F的最大距離為3，
（1）求橢圓C的方程；
（2）若直線MN為垂直于x軸的動弦，且M、N均在橢圓C上，定點T（4，0），直線MF與直線NT交于點S．求證：
    ①點S恒在橢圓C上；
    ②求△MST面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)，離心率為
1
2
，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為其左右焦點，橢圓上點P到F1與F2距離之和為4，
（1）求橢圓C1方程．
（2）若一動圓過F2且與直線x=-1相切，求動圓圓心軌跡C方程．
（3）在（2）軌跡C上有兩點M，N，橢圓C1上有兩點P，Q，滿足
MF2
與
NF2
共線，
PF2
與
QF2
共線，且
PF2
•
MF2
=0，求四邊形PMQN面積最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），長軸兩端點A、B，短軸上端頂點為M，點O為坐標原點，F(xiàn)為橢圓的右焦點，且
AF
•
FB
=1，|OF|=1．
（1）求橢圓方程；
（2）直線l交橢圓于P、Q兩點，問：是否存在直線l，使點F恰為△PQM的垂心？若存在，求出直線l的方程，若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
3
3
，直線l：y=x+2與以原點為圓心，橢圓C1的短半軸長為半徑的圓相切．
（I）求橢圓C1的方程；
（II）直線l1過橢圓C1的左焦點F1，且與x軸垂直，動直線l2垂直于直線l2，垂足為點P，線段PF2的垂直平分線交l2于點M，求點M的軌跡C2的方程；
（III）設C2上的兩個不同點R、S滿足
OR
•
RS
=0，求|
OS
|的取值范圍（O為坐標原點）．

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